Bulletin  pliysîco- mathématique 
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Es  zerfällt  also  die  gesammte  Belegung  des  Fadens  in 
eine  unendliche  Anzahl  einfacher  Schwingungen,  deren  jede 
als  für  sich  bestehend  betrachtet  werden  kann.  Bezeichnet 
man  die  zu  k',k"lc' [ ...  gehörigen  Schwingungen  der  Reihe  nach 
als  die  erste,  zweite,  dritte,  • . wobei  immer  k <7c  <CJi  . . ■ 
vorausgesetzt  wird,  so  ist  die  Dauer  der  Aten  Schwingung 
■ -,  also  für  einen  grossen  Werth  von  A,  dem  ein  noch 
viel  grösseres  //'  entsprechen  wird,  sehr  klein;  ferner  theilt 
sich  vermöge  dieser  Aten  Schwingung  der  Faden  in  A Stücke, 
zwischen  denen  sich  A — 1 Ruhepunkte  oder  Schwingungs- 
knoten befinden;  d.  h.  cs  lässt  sich  zeigen,  dass  für  ein  gege- 
benes /.-,  nämlich  A'3",  die  transscendcnte  Gleichung  in  x-.f[x,k  ) 
= 0 zw  ischcn  x ===  0 und  x = L,  A — 1 reelle,  positive,  un- 
gleiche Wurzeln  x hat,  zu  welchen  noch  die  Wurzel  x — L 
hinzukommt.  Man  ersieht  hieraus,  wie  für  hinreichend  grosse 
A die  Werlhe  von  C und  Dj,  verglichen  mit  den  entspre- 
chenden Werlhen  für  kleinere  A,  sehr  klein  werden  können, 
wie  es  die  Convergenz  der  Reihe  XIX.  fordert;  nämlich  in 
den  Werlhen  XX.  von  C;_  und  Dj  heben  sich  die  Theile  der 
Zähler  durch  den  Gegensatz  der  Zeichen  für  ein  hinreichend 
grosses  A in  beträchtlichem  Maasse  auf,  während  der  Nenner 
durch  quadratische  Elemente  anwächst.  Dieser  Umstand, 
welcher  auch  hei  andern  Reihenentwickelungen  willkiikrli- 
cher  Functionen  wiederkehrt  und  gewiss  höchst  wesentlich 
ist,  reicht  jedoch  zu  einem  strengen  analytischen  Beweise  der 
Convergenz  nicht  hin  und  muss  ein  solcher  hier,  wie  in  man- 
chen ähnlichen  Fällen,  noch  erwartet  werden,  während  in- 
zwischen Gründe,  die  in  der  Natur  der  Sache  liegen,  die  Con- 
vergenz nicht  bezweifeln  lassen. 
Um  noch  ein  Beispiel  anzuführen,  sei  die  Belastung  des 
Fadens  nach  folgendem  Gesetze  vertheilt  : Auf  der  Strecke 
von  x = 0 bis  x=L°  sei  P—xn  (n  positiv)  und  von  x = L° 
bis  x = L sei  der  Faden  leer,  d.  h.  P = [L°)n.  Alsdann  er- 
giehl  sich: 
f (*,  A)  = 
I j n xzhz  n.n  x3lc 3 n.n.n  æ4/i4 
ra-i-1  2 «-+-1 . n-t-2  3 A _*~n-j-l.n-t-2.n-f-3  Vt 
gültig  von  x 
0 bis  x = L°,  und 
, ■ , , nlß  r L°-l  /c2 
«-<-i  L 2 J 1 
n . n . L° 
2 I/  3 J 2'. 
n . n ,n . L° 
1 . n- 
3[- 
3L°-j  /c4 
von  x = L°  bis  x = L.  Für  x — TP  fallen  beide  Werlhe  zu- 
sammen. 
Für  IP  — L,  d.  h.  wenn  die  unbelastete  Strecke  verschwin- 
det, gilt  die  erste  Formel  für  die  ganze  Länge  des  Fadens, 
und  wenn  n eine  ganze  Zahl  ist,  so  fällt  sie  mit  einer 
Reihe  zusammen,  auf  welche  Bessel  hei  einer  Untersuchung 
über  planetarische  Störungen  (Sehr,  der  Berl.  Akademie  vom 
Lahre  \H2\  geführt  worden  ist  und  welche  er  daseihst  durch 
ein  sehr  einfaches  bestimmtes  Integral  dargestellt  hat.  Es  ist 
nämlich,  wenn  n eine  positive  ganze  Zahl,  die  obige  Reihe 
1 — xh  -+- 
(n  - 1/. 
n — 1 
n (nkx)  2 
cos  [(n  — 
\)-e  — 2 V [nkx)  sin  f]  de. 
Die  Herleitung  dieses  Ausdruckes  übergehe  ich  um  so 
mehr,  als  er  für  ein  gebrochenes  n ungültig  wird  und  weil  es 
hier  überhaupt  um  besondere  Fälle  sich  nicht  handelt.  Zu 
diesen  gehören  auch,  nämlich  der  Annahme  n = 1 entspre- 
chend, die  in  der  Mèc.  anal,  betrachtete  Schwingung  eines 
gleichmässig  schweren  Fadens,  so  wie  die  bei  Untersuchung 
des  Wärmezustandes  eines  Cylinders  in  Fouriers  Werke 
vorkommende  und  dort  durch  das  obige  Integral  (für  n = 1) 
ausgedrückte  Reihe.  Dies  sind,  so  weit  meine  Kenntniss 
reicht,  die  einzigen  Beispiele,  in  welchen  die  oben  mit  f(x,  k) 
bezeichneten  Functionen  bis  jetzt  hervorgetreten  sind,  deren 
Allgemeinheit  durch  das  Vorstehende  vielleicht  in  helleres 
Licht  gesetzt  wird. 
Dorpat  den  22  Mai  (3  Juni)  1853. 
1.  Rapport  faita  M.  leBirecteur  de  l’Obser- 
vatoire CENTRAL  SLR  LES  TRAVAUX  DE  L ’EXPÉ- 
DITION de  Bessarabie,  entreprise  en  1852, 
POUR  TERMINER  LES  OPÉRATIONS  DE  LA  MESURE 
de  l’arc  DU  MÉRIDIEN,  PAR  M.  PRAZMOV- 
SKI,  ASTRONOME  DE  L’OBSERVATOIRE  DE  VAR- 
SOVIE. (Lu  le  27  mai  1853.) 
Les  travaux  de  la  mesure  de  l’arc  colossal  du  méridien 
qui  traverse  les  régions  septentrionales  de  la  Norvège  et  de 
la  Suède,  et  toutes  les  provinces  occidentales  de  la  Russie, 
touchaient  à leur  fin.  Pour  donner  le  cachet  de  la  dernière 
exactitude  aux  travaux  russes,  il  fallait  répéter  les  obser- 
vations astronomiques  sur  quelques  points  méridionaux  de 
cet  arc,  afin  de  les  mettre  au  niveau  de  l’exactitude  avec 
laquelle  les  travaux  de  la  partie  boréale  avaient  été  exé- 
cutés. Une  expédition  devait  se  rendre,  en  été  1852,  au  midi 
de  la  Russie,  pour  faire  les  observations  astronomiques  re- 
quises. En  même  temps,  l’expédition  devait  remesurer  la 
base  extrême  méridionale,  vu  que  la  mesure  antérieure  pré- 
sentait quelques  petites  incertitudes. 
Appelé,  par  votre  confiance,  à la  place  de  chef  de  l’ex- 
pédition, je  me  rendis  de  Varsovie  à Poulkova,  déjà  en  juin, 
pour  assister  aux  préparatifs  de  l’expédition. 
Messieurs  Wagner,  astronome  à Poulkova,  Gamov,  of- 
