123 
Bulletin  playsieo  - mathématique 
124 
oder  cn t -+-  [n  h-  1 ) J cndc  = [n  -t-  1 ) k , 
oder  — "-P1  H—  [n  -+- 1 ) = 0, 
dec  dc 
oder  — n (n  -+-  1)  c„_,  + (ft+1)  = 0, 
was  mit  der  Annahme  iibereinstimmt. 
Wenn  der  Werth  des  Integrals  f cndc  für  c = — Î , von 
dem  Werth  für  c — 1 abgezogen  wird,  so  ergiebt  sich  das 
einheitliche  Integral  zwischen  den  Grenzen  c = ±l,  Aus  der 
Gleichung  ©,  folgt  wegen  des  Faktors  c 2 = 1 — c2,  welcher 
hei  beiden  Werthen  von  c verschwindet,  der  erste  Satz: 
-Das  einheitliche  Integral  f cndc  verschwindet  für  jeden 
Werth  von  n.» 
Wenn  n grade,  so  ist  k — 0. 
Wenn  n ungrade,  so  ist  («-+-  1)  k = l0f"  — l*. 
Hier  ist  [n~\-x~\-  1)  immer  ungrade.  Für  c=i  ± 1 ist  also 
c't+;t+l  = ± 1.  Hieraus  folgt: 
1 c __  »0 
2 1 »»“n+i 
^2 
n+3 
oder  = 
?3 
«-»-4’  * ' ' 
Das  einheitliche  Indicial  sei  wie  oben  = f,  so  ergiebt  sich 
hieraus  der  dritte  Satz: 
«Das  einheitliche  Integral  des  Quadrats  eines  Indicials  wird 
durch  das  Quadrat  des  einheitlichen  Indicials  ausgedrückt.'» 
oder 
2 n h-  1 
lç  1.2.3 . . .n  1.2.3. ..n 
2 nn  1 . 3.5.  . .(2ra  — 1)  3.5.7.  . .(2nn-l) 
Es  seien 
und  ihre  Binominalzahlen 
Es  seien  m und  n zwei  beliebige  Zeiger,  so  ist: 
t o ci  c .j-f  a c j,  / - r * ' " 
C J-.  (I  . | ' ' ^ ' 
df-  — »{»-+-D  omc„, 
[n(n- hl)  — m (m  + 1)]  cmcn. 
de 
C,n  de 

d (cncm) 
(ln 
u Lm  . 
= C„  • H- 
de 
“ de 

d ( cmcn ) 
d icncrn) 
de 
djn 
de 
dc  dc 
Es  sei  also  k eine  von  c unabhängige  Zahl,  so  ist: 
-H  [»  (n  -4-  1)  — »n  [m  -4-  1)J  J cmcfdc  = crncn  — cnc 
'd  c,„  d c„ 
de 
C„  — 
dc 
= c 2 [ m cm  —lCu"~n  cn  — 1 cm  1 • 
Wegen  des  Faktors  c 2 , welcher  für  c = ± 1 verschwin- 
det, folgt  hieraus  der  zweite  Satz: 
« Das  einheitliche  Integral  des  Produkts  der  Indiciale 
f cmcißc  verschwindet  für  zwei  beliebige  aber  verschiedene 
Zeiger  m und  n.  » 
Wenn  beide  Zeiger  m,  n,  einander  gleich  sind,  so  wird  die 
obige  Gleichung  identisch.  Es  muss  also  das  einheitliche  In- 
tegral des  Quadrats  der  Indiciale  S,.„  = / cr,c„dc  besonders 
bestimmt  werden.  Aus  dem  zweiten  Satz  ergiebt  sich  leicht, 
dass  es  dem  einheitlichen  Integral  fcn  cndc  gleich  ist. 
Aber 
cn  cn  = . • .txcn~'~x„ . . 
f cn  cudc=  ... 
n-\-x- f- 1 
so  ist 
oder 
i 
o 
3 
1 2 3 
*2)  ^2 
• 1 
2 n- 1- 1 
2 ' 
i(2"î„)(2'4‘s)S„„=l. 
Das  sphärische  Indicial. 
In  einem  sphärischen  Dreieck  seien  c und  z die  Kosinus 
zweier  Seiten,  welche  den  Winkel  m einschliessen , c und  z 
die  Sinus  dieser  Seiten,  C der  Kosinus  der  dritten  Seite,  u 
der  Kosinus  des  Winkels  m,  welcher  der  dritten  Seite  ge- 
genüber liegt. 
C — cz  -H  c z u. 
Die  hier  von  m — 0 bis  m = 2tc  genommenen  Integrale 
heissen  Umlaufsintegrale. 
Das  sphärische  Indicial 
das  sphärische  Subindicial 
die  Binominalzahlen  von  n sind  n,n,  n. . . 
Cn  — [cz)n  *+-  n ( cz)n  ~ 1 [cz')  u~\~n  [cz)n  ~ 2 [cz')2u2 
Cnu  = [cz)nu  H-  n ( cz)n  ~ 1 [cz)  u2  -+-  n [cz)n~2  [cz')2u3  . . . 
Also 
