135 
«le  IMcadémie  «Se  Salait -Pefei*§6otirg', 
136 
1 12  3 
Die  Binominalzahlen  von  vQ  = — sind  vQ,  vQ,  v0 
sämmtlich  positiv  genommen. 
x ungrade — f ux dm  — 0, 
° 2 x J 
1 P X 
x grade  oder  ungrade  — J u2Xdm  — v0. 
1 2 
[cz)n  -+-  vQn  ( cz)n  2 [c V)2  h-  vQn  ( cz ) 72  4 [cz')*  . . . 
2 4 
3 5 
Cn_i=v0n[cz)n  1-i-v0n{czY‘  *{c  z')2-+-vQn(cz)n  s(cV)4.. 
also 
a;  x x— 1 
(»  + 1)  — n = n, 
Cn+l-Cn(cZÏ=Cn_l[M)*. 
Für  das  sphärische  Indicial  und  Subindicial  gelten  ähnliche 
Gleichungen,  wie  für  das  einfache: 
■)’ 
(%=î)+»(»+i)?._, - (<•-  i)»c„_,=o- 
Der  Beweis  beruht  auf  der  Eigenschaft  der  Binomiajzahlen 
von  v0 , dass 
n ungrade..  . b„  — 2 
0 n~1  2.4...  (n  — 1 ) 5 
« grade h . = frn-3)  (nn-5). . .(2»-l) 
Für  die  übrigen  Glieder  findet  man  aus  den  obigen  Glei- 
chungen folgende  Beziehung: 
(b-æ)(b  + i+1)  fj'l)  = n(n  — 1)  fjn  ~ 
(n  — x — i)  (n  + æ + 2)  bx("—  D = n (n  — 1)  bjn~3\ 
Diese  Koefficienten  sind  in  den  Verzeichnissen  5.  6.  angezeigt. 
Zwischen  den  Koefficienten  des  sphärischen  Indicials  und 
den  umgestellten  Koefficienten  des  einfachen  Indicials  ergiebt 
sich  eine  von  n unabhängige  Beziehung  •. 
Wenn 
fj"' =2 
1.2.3...  x ( 12.3...  (x-i-2) 
Vx  ~ 1.3.5. . .(2x-  1)’  3.5.7.  ..(2x-+-l)’ 
so  ist 
f • — m ("1 
»Ix  — *"x  ’ 
- Wx^  l)  — «x(m)- 
Alerter  Artikel* 
Das  geometrische  Potential. 
1 2 2 3 3 4 
3w0  = 4c0,  5«0  — 6w0,  7v0  = 
Aus  diesen  Differentialgleichungen  folgt,  dass  das  sphäri- 
sche Indicial  in  eine  Reihe  von  Gliedern  sich  entwickeln  lässt, 
deren  jedes  ein  Produkt  zweier  einfachen  Indiciale  von  glei- 
chem Zeiger  enthält. 
Eben  so  besteht  das  sphärische  Subindicial  aus  einer  Reihe 
von  Gliedern,  deren  jedes  ein  Produkt  zweier  einfachen  Sub- 
indiciale  enthält. 
Cn  f0  "+~  foc2Z2  * • oder  = Î f3C3~3  ■ • 
Cri — J = ^3C3’S3’  ’ • oder  b0  -+-  ^>2C2Z2  • • • 
je  nachdem  n grade  oder  ungrade  ist. 
In  der  bei  Cn  und  Cn_t  nach  Potenzen  von  {cz)  und  [cz') 
fortschreitenden  Reihe  enthält  jedes  Glied  die  höchste  Potenz 
- — v ** 
von  [cz],  also  auch  das  Produkt  c z oder  cz  vom  höchsten 
Zeiger.  Also  ist  das  letzte  Glied 
1 2 2 4 1123 
f«  = 1 V0n  ■+■  V0n • Von  -+-  V0n ■ • • 
n grade. f„ 
n ungrade . . . f„ 
(n-H  1)  (n-t-3).  . .(2m—  1) 
2.4...  n 5 
(t»+ 2)  (w-t-4). . . (2m  — 1) 
2~.  4 ...  (M-l)’ 
In  einem  gradlinigen  Dreieck  seien  die  Seiten  1 , r,  e , der 
von  den  Seiten  1 und  r eingeschlossenen  Winkel  sei  — p, 
cos  p = z,  sin  p = z’' 
e-  = i — 2rz-i-r2. 
In  dem  untern  Falle,  wo  r <)  1,  ist  der  Thcil  rechts  kon- 
' 1 
vergirend.  Es  sei  r = — > so  ist 
» ' r 
(er)2  = 1 -2k  + r2. 
In  dem  obern  Falle,  wo  r)>  I,  also  r O 1 , ist  der  Theil 
rechts  konvergirend.  Es  ist  also  nur  noting  den  untern  Fall 
zu  betrachten,  weil  der  obere  Fall  aus  diesem  abgeleitet 
wird,  indem  man  r statt  r,  und  er  statt  e setzt. 
Das  geometrische  aufsteigende  Potential  ist 
P"  = cn",  für  n'  — — 1 , 1,  3,  5,  7... 
Das  geometrische  absteigende  Potential  ist 
fl r2)  n — 2 
P = {- — für  n=3,  5,  7,  9... 
Es  sei 
