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ISS 
so  ergeben  sich  die  Gleichungen: 
[(£)-(£)] 
[©- (I)]  <' -r!)- 2 <-3>(: 
dJ)  r». 
dr  / 
-+-  (ft  _/,.)(«_  3)  jPr2=0. 
Aus  diesen  Gleichungen  folgt,  dass  sowohl  das  aufstei- 
gende als  absteigende  geometrische  Potential  sich  in  eine 
Reihe  entwickeln  lassen,  welche  nach  Indicialen  von  z fort- 
schreilet.  Diese  Indiciale  sind  mit  Koefficienten  behaftet, 
welche  bloss  von  der  Seite  r abhängen,  und  daher  Potential- 
seiten heissen. 
Es  seien 
n it  n 
~9~  1 > 9~ 
:V, 
und  deren  Binomialzahlen 
hi 2//  % 123 
V,  V,V  ....  V,  V,  V . 
so  ist 
p"=en"=f0-  2l"l"7y+24"lz 
2h" l "7 
- V l3 
(1  -rl) 
1 \n  — 2 
Für  n = — 1 ist 
Für  >i  = 3 ist 
2 vL 
2 2vl2z2  - 2 h'l 
3^3 
£)-(£)=•• 
In  diesen  beiden  Fällen  enthält  die  Potentialseite  nur  ein 
Glied  l"x  = lx  = rx. 
Es  sei  also 
1 i 3 
“ 1T=1V  und  - 
so  ist 
— = 1 
e 
l-=h  = i 
r*i 
2 . — . 
a,2  * 
- 2 
23V3  *8-.. 
2t’,r  s.  -t-  22«,r2  — 23tv’3  z. 
Wenn  n — n"  = 4,  so  verwandelt  sich  die  Seite  des  einen 
Potentials  in  die  des  andern,  ln  diesem  Falle  haben  beide 
eine  gleiche  Seite  l æ=lx-  Es  ist  also  nur  nölhig  für  eine 
der  beiden  Potentiale  die  Seite  zu  bestimmen.  Durch  die  Glei- 
chung n — n = 4 verwandelt  man  diese  Seite  in  die  des 
andern  Potentials. 
Aus  der  Differentialgleichung  von  P ergiebt  sich  eine  ähn- 
liche für  die  Potenlialseile  lx. 
Es  sei 
so  ist 
\f  (*  1)  lx  - ^f]  (1  - rZ)  - 2 [n  - 3)  { — )r3 
-!-  (n  — 4)  [n  — 3)  lxr~  — 0. 
= + ^ 
•Pn-  3r 
X 
X -+-n  — 3 
Zwei  nächste  Potentialzahlen  seien  p _0  und  p 
2x 
1 
Beim  aufsteigenden  Potential  sei.  n h-  3 = w ■ 
Bei  absteigenden  Potential  sei.  . . . n — 1 = io  ■ 
so  ergiebt  sich  aus  obiger  Gleichung: 
y («  y)  Pj-+-  to  (m  — w)  _ 2 = 0. 
Diese  Potentialzahlen  p sind  im  Verzeichniss  7.  angezeigt. 
Für  x = 0 verhalten  sich  die  Potentialzahlen  wie  die  Bi- 
nomialzahlen von  ii  — 2 oder  n"  -+-  2.  Die  letzte  Potential- 
zahl ist 
_i_  (2  æ — 1)  (2*  — 3). . . (2* -t-4 — n) 
™ — 3 (2x  -+-  3)  2æ-t-5)...(2Æ-2+ft)' 
Es  sei  das  geometrische  Potential  mit  einem  beliebigen  In- 
diciel zm  multiplicirt,  und  von  dem  Produkt  das  einheitliche 
Integral  = Fm  von  z = — I bis  z = l genommen. 
Die  einheitlichen  Integrale  des  Produkts  zweier  Indiciale 
von  verschiedenem  Zeiger  verschwinden , und  es  bleibt  bloss 
das  einheitliche  Integral  Smm  des  Indicialquadrats  übrig.  Also 
F " = 2m  vT  S 
rn  — — v 1 mumm  ’ 
WO 
und 
lm=r’ 
Es  sei  also  : 
Fm- 
so  ist 
rr  n 
v = v 
p2r 
t j -+- 1 y 
F = 2mvl  S 
„ m -+-n  — 3 
j Qm  -,  C 
l0  — Ä v Jmm> 
2«/  ™ __  »(>»+2)...(2m-m-2)  ? 
1.2  . 
(1.2  3...  >n) 
m 
(1.2.3. 
m) 
2 rnm  [1.3  5. . .(2m — 1)]  [1.3.5. . .(2m-i-l)] 
Wenn  also 
2 u = n — 4, 
so  ist 
n — 2 nmn  • . 
— 2mut,(_3  = l. 
Emis  le  22  octobre  1853. 
