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pas  tous  les  développements  nécessaires  pour  déterminer 
les  axes  et  les  moments  principaux  au  moyen  d'un  système 
d’axes  conjugués.  Dans  le  mémoire  que  j’ai  l’honneur  de 
présenter  à T Académie,  je  donne  une  méthode  complète  et 
directe  pour  résoudre  ce  problème.  .1  applique  ensuite  cette 
méthode  à plusieurs  exemples,  savoir:  au  prisme  triangu- 
laire, au  parallélépipède  oblique,  au  cylindre,  au  tétraèdre, 
à la  pyramide  et  au  cône.  Je  donne  de  plus  un  moyen 
pour  trouver  les  axes  et  les  moments  principaux  d’un  sy- 
stème de  corps,  lorsqu’on  a déjà  déterminé  les  axes  et  les 
moments  principaux  de  chaque  corps  séparément.  Ceci  peut 
être  appliqué  à un  polyèdre  quelconque  décomposé  en  té- 
traèdres, dont  les  axes  et  les  moments  sont  déjà  déterminés. 
Pour  le  prisme  triangulaire,  le  parallélépipède,  le  cy- 
lindre à base  elliptique  et  le  tétraèdre,  l’ellipsoïde  de 
M.  Binet  jouit  de  la  propriété  remarquable  d’être  circon- 
scriptible  au  corps  que  l’on  considère. 
2.  Soit  O le  centre  d’inertie  d’un  corps  homogène,  Ox, 
Oy,  Oz  les  axes  principaux  et  x , y , z les  coordonnées 
rapportées  à ces  axes  d un  élément  dm  de  la  masse.  En 
vertu  de  la  propriété  des  axes  principaux,  on  a 
fyzdm  = 0,  fzxdm  = 0,  Jxydm  = 0, 
où  les  intégrations  sont  étendues  à la  masse  totale  du  corps. 
Ces  équations  étant  divisées  par  la  densité  constante  du 
corps,  que  nous  désignerons  par  q,  se  réduisent  à 
fffyzdxdydz  — 0, 
. fffxzdxdydz=  0,  ........  (1) 
fJJ'xydxdydz—  0. 
Soit  encore  Ox  , Oy' , Oz  un  système  d’axes  obliques  tels, 
que  si  on  les  prend  pour  les  axes  des  coordonnées,  et  que 
l’on  désigne  par  x,  y',  z les  coordonnées  de  dm , l’on  ait 
aussi 
fff y z dx  dy  dz  = 0 , 
fffx  z dx  dy  dz  = 0 (2) 
jjj x y dx  dy  dz  = 0. 
Supposant  que  les  directions  des  axes  Ox , Oy,  Oz  soient 
connues,  proposons  nous  de  déterminer  celles  de  Ox,  Oy, 
Oz,  et  de  calculer  les  intégrales: 
P = fffx'1  dx  dy  dz , 
Q—fffyfdxdydz (3) 
R = ffj'z2  dx  dy  dz, 
qui  servent  à former  les  moments  principaux: 
A — ç>[Q-\-R), 
B = q(P+R), (4) 
C=q(Q  + P). 
Désignant  respectivement  par 
> " n'  o"  ' " 
a,  a,  a -,  ß,  ß , ß ; y,  y , y 
les  cosinus  des  angles  formés  par  les  axes  Ox,  Oy , Oz, 
avec  Ox,  Oy' , Oz'  et  par  X,  y,  v les  cosinus  des  angles: 
/-y  Oz  , Lx  Oz' , L x Oy  , on  aura 
ax 
■ßy 
Yz 
' ' o'  ' ' ' 
y — a x ß y -t- y z , ... 
z = a x -t- ß y-t-y  z -, 
....  (5) 
a.2  h—  a'2- 1-  a"2—  1 , 
ß2-+-ß'2-\~  ß"2=  î 
r2  + y'2  + y"2=l 
(6) 
ßy  n-  ß'y'-+-  ß"y"=  à , 
ay  a y -i-  a y = /*,  • ■ • ■ 
o ’ o’  " o” 
ß(3  + «p+ß  ß =v. 
....  (7) 
Substituant  à x,  y,  z leurs  valeurs  (5)  dans  les  équations 
(1),  et  divisant  ensuite  celles-ci  par  le  déterminant  diffé- 
rentiel 
T . o'  " o ' " a ' " ’a"  ' o"  o'  " 
D = ap  y — pa  y -t-  py  a — ay  p -+-  y a p — yp  a , 
on  trouve,  en  ayant  égard  aux  conditions  (2), 
a a' fffx'2 dx  dy' dz' -t-  f ß" fffyzdx' dy  dz  -+- 
y y ' fffz2dx  dy  dz  = 0, 
aa"  fffx  2 dx'  dxj  dz  ßß"  fff y 2dx  dij  dz  -t- 
yy"  fffz  2 dx  dy  dz  = 0, 
aa  fffx  2 dx'  dy  dz  ■+■  ßß'  fffyzdxdydz'  -+- 
yy  fffz  2 dx  dy  dz'  = 0, 
ou  bien 
a a P - 1-  ß ß Q -+-  y y R = 0, 
aa"  P’  -+-  ßß"  Q'  +yy"  R=0, (8) 
aa' P -t- ßß'  Q'  ~+- yy'  R =0, 
en  posant  pour  abréger 
P —fffx2dx'd\fdz,  Q — fffy2  dx dy dz , 
R' =z fffz' 2 dx'dy'dz. 
Ayant  calculé  les  intégrales  P , Q , R , on  pourra  trouver 
les  9 cosinus;  a,  a , a , ß,  ß , ß , y,  y , y , par  la  réso- 
lution des  équations  (6)  et  (7)  jointes  aux  équations  (8),  et 
et  par  suite  on  déterminera  les  positions  des  axes  Ox,  Oy, 
Oz  relativement  aux  axes  Ox  , Oy  Oz  . 
3.  Il  est  facile  de  démontrer  que  les  axes  principaux 
Ox,  Oy,  Oz  se  confondent  avec  les  axes  d’un  ellipsoïde 
construit  sur  des  diamètres  conjugués,  dont  les  directions 
sont:  Ox  , Oy  , Oz  , et  les  demi-longueurs  sont  proportion- 
nelles aux  racines  carrées: 
yp',  vq',  y R. 
