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de  l'Académie  de  Saint  - Petersburg. 
ISS 
Si  Ion  désigne  ces  demi-diamètres  par  a,  b ' c , et  par  n 
un  nombre  arbitraire,  on  aura: 
a—  nVP,  b=nVQ,  c=nVR-, 
l’équation  de  l’ellipsoïde  par  rapport  aux  axes  Ox' ’ , Oy  , 
Oz  se  présentera  donc  sous  la  forme 
x * 
a* 2 
^-2  -4-  2 2 = 1 
b'2  ^ c' 2 
(9) 
Supposant  celte  équation  connue,  proposons  nous  de  déter- 
miner les  axes  de  l’ellipsoïde.  Soient  Ox , O y , Oz  les 
directions  de  ces  axes,  a,  b,  c leurs  demi-longueurs  et 
K,  a , a , ß,  ß , ß , y,  y , y , 
les  cosinus  des  angles  qu’elles  font  avec  les  diamètres  con- 
jugués Ox  , Oy  , Oz  . Dans  cette  hypothèse , l’équation  de 
l’ellipsoïde  rapportée  aux  axes  Ox,  Oy , Oz,  sera 
62 
= 1 
et  devra  se  réduire  à l’équation  (9')  par  la  transformation 
des  coordonnées:  x,  y,  z en  x , y , z , au  moyen  des  for- 
mules (5)  ; il  s’en  suit  que  les  coefficients  des  produits 
y z , z x , x y dans  la  transformée  devront  être  égalés 
à zéro,  ce  qui  donnera  les  relations: 
ßj_ 
a2 
ay 
c/5 
a2 
«2 
a2 
J32 
a 2 
f 
a2 
£V 
62 
/ / 
ß"  y ‘ 
62 
a'ß' 
c2 
a"ß,f 
62 
1 C 2 
a'  2 
a! "2 
T2  1 
c2  ” 
ß'Z 
ß"2 
— = 
62 
C2 
y'2 
y"2 
„ H r = 
62 
= 0, 
= 0, 
= 0, 
1 
■ a7  2 ’ 
1 
= V 2 ’ 
1 
_ «'2  ’ 
(10) 
[H) 
qu’on  pourra  aussi  présenter  sous  la  forme 
a a a ß ß b1-*- y y c2  — 0, 
a a"  a'2  -+-  ß ß"  b'2  - 1-  y y"  c 2 = 0, 
a a a 2 -f-/?  ß'  b'2  -\ -y  y'  c 2 = 0, 
(12) 
ß2b 
2 '2 
C 
■ ß'2b'2  -+~y  2 c 2 = 62, 
■ ß'2b'z-t-  y"2c'2  = c2 , 
f/o  f 2 
a - 
(13) 
*)  On  démontre  ordinairement  l’identité  des  relations  (12)  et  (13) 
avec  (10)  et  (11)  de  la  manière  suivante: 
Les  équations  (12),  par  la  substitution  des  valeurs 
nVP  , nVQ’,  nVl{' 
‘a  a , b , c deviennent  identiques  avec  les  équations  (8),  ce 
qui  prouve  que  les  directions  des  axes  de  l’ellipsoïde  sont 
effectivement  celles  des  axes  principaux  du  corps. 
4.  Les  demi -longueurs  des  diamètres  conjugués:  a , b\  c, 
étant  déterminées  au  moyen  des  intégrales;  P\  Q' , /?', 
serviront  à trouver  les  cosinus:  a,  a,  a ",  ß,ß',ß", 
7’  y ■>  y i aussi  bien  que  les  demi-longueurs  des  axes  de 
1 ellipsoïde  a,  b,  c et  les  moments  principaux  du  corps. 
Multipliant  la  première  des  équations  (13)  par  a,  la  se- 
conde des  équations  (12)  par  a",  la  troisième  des  (12)  par 
a , et  faisant  la  somme  des  produits,  eu  égard  aux  condi- 
tions (6)  et  (7) , on  trouve 
aa2-+-  ßvb'2+yyc2=aa2 (J6) 
La  somme  de  ces  mômes  équations  respectivemeut  multi 
pliées  par  ß,  ß" , ß'  donne 
ttvà2 -v- ßb'2-+-yXc'2=  ßa2 (17) 
Enfin  multipliant  les  équations  mentionnées  par  y,  y",  y 
et  prenant  la  somme  on  aura 
ay,  a2-t-  ßXb'2-\-yc2=  ya2 (18) 
Si  l’on  élimine  a,  ß,  y des  équations  (16),  (17)  et  (18),  on 
Posant 
a a a a 
a °1  ’ 1T 
il— h b'ÿ 
a ~ 1 ’ 6 ’ 
(In  ? 
C 
h ' n" 
? 
K’  ~~=b3’  ’ ’ ’ (,4) 
c y 
CJL—,  . °y 
2 
// 
î ’ — C‘>  > 
a ~ o ~ c 
on  a,  en  verlu  des  relations  (10)  et  (11), 
c.,, 
blci-+-  b2c2-t-  63c3  = 0 a12-t-a22-f-a32=  1 
a2c2Hh  ß3c3—  0 b2~+-  b2-+-  b.2=  1 . . (15) 
at  èl-t- a3è3  — 0 cy2-+- c2-\~  c.2=  \ -, 
les  valeurs  (14)  peuvent  être  considérées  comme  les  cosinus  des 
angles  formés  par  un  système  d’axes  Oxx , Oy l5  Oz j avec  un  autre 
système  Ox2 . Oy2 , Oz2,  tes  équations  (15)  seront  alors  les  condi- 
tions nécessaires  pour  que  les  deux  systèmes  d’axes  soient  rectangu- 
laires; mais  ces  conditions  peuvent  être  aussi  exprimées  par  les  équa- 
tions: 
ß2ß3-+- i2f)3-+- c2c3=  0 a2-\-  bß-t-  c,2=  1 
ß3  ßj  — t—  b^b  ^ — i—  — 0 ß2  ' - 1 b0~  — t—  c2-  — 1 
ai  bl  b2-t-  Ci  c2=  0 ß32Hh-  b2-\~  c.2=  1 
qui  se  réduisent  aux  relations  (12)  et  (13)  après  la  substitution  des 
valeurs  (14)  à a a.z,  a3,  bl,  ...  . 
