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Kulfetiii  pïiysico  - inathéinaüqne 
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trouve  une  équation  du  3-me  degré  par  rapport  à a'2,  savoir. 
a2  — a2)  (a2  — b 2)  (a2  — c 2)  — 
[a2 — b' 2) a 2 c 2 fi2  — («' — c 2)a  2 
- (a2  — a 2)  b 2 c 2 À2  — 
b'2v2 — 2a2b'2c'2Xiuv=0  ..(19) 
qui  servira  à déterminer  le  demi-axe  a. 
Il  est  facile  de  démontrer  que  les  deux  autres  racines  de 
celte  équation  sont  b2  et  c2.  En  effet,  la  seconde  des  équa- 
tions (13),  combinée  avec  la  première  et  la  troisième  des 
équations  (12)  au  moyen  des  multiplicateurs 
(«',  a",  et),  (/?',  ß",  /?),  (/,  y",  y) 
donne 
a a2-+-  ß'vb'2- y'  ,uc  2=a  b2 
ava2~\-  ß'  b'2  yX  c2=  ß b2 (20) 
ß fia2  -h  ß Xb  2 -+-  y c 2 = y b2. 
Or,  on  obtient  aussi  ces  mêmes  equations  en  remplaçant 
dans  (16),  (17)  et  (18)  les  quantités:  a,  ß,  y , a 2 respecti- 
vement par  a,  ß' , y'  b2;  par  conséquent  l’élimination  de 
a,  ß\  y des  équations  (20)  conduira  à une  équation  qui 
peut  être  tirée  de  l’équation  (19)  en  mettant  b2  au  lieu  de 
a2;  donc  b2  est  une  seconde  racine  de  l’équation  (19). 
La  3-me  des  équations  (13),  combinée  avec  la  première 
et  la  seconde  des  équations  (12)  au  moyen  des  multiplica- 
teurs (a",  a',  a),  (/?",  ß\  ß),  {y",  y , y),  donne 
a a 
n t 
a va 
1 1 t 
a [.ta 
ß"vb'2- 
■ ß"b'2- 
■ ß"  M)2- 
■ y fie  = a c 
■ y Ac  l=  p CÀ 
- y c =y  ci 
D’où  l’on  tire  par  l’élimination  de  a , ß , y une  équation 
du  3-me  degré  par  rapport  à c2,  qu’on  obtient  aussi  en 
remplaçant  a2  par  c2  dans  l’équation  (19). 
Les  trois  racines  de  l’équation  (19):  a2,  b2,  c 2 sont  né- 
cessairement réelles  et  positives,  parce  que  les  trois  axes 
de  l’ellipsoïde  sont  reels  *). 
*)  On  peut  s'assurer  immédiatement  que  les  trois  racines  de  l’é- 
quation (19)  par  rapport  à a2  sont  réelles  et  positives,  en  les  sépa- 
rant par  un  procédé  indiqué  par  M.  Cauchy  dans  le  tome  VI  des 
Mémoires  de  l’Institut.  Soit  f (a2)  le  premier  membre  de  l’équation 
(19);  on  a 
f {o)  = — a'2  b'2  c'2  (1  — X2 — p2 — v2-t-%Xpv). 
Désignant  par  p le  cosinus  de  l’angle  dièdre  formé  par  les  plans 
x<)-J  et  x'Oyf,  on  trouve  par  la  trigonométrie  sphérique 
X = pv-t-Y\  — /a2  Y l — v2.p 
et  par  suite 
1 — X2—p2—  v2-+-  VXpv  = ( 1 — X2)  (1  — p2 ) ( 1 — p2)  ; 
Or , cette  valeur  est  positive  parce  que  X2t  p2,  p2  ne  peuvent  sur- 
passer l’unité;  donc  f(0)  est  négative. 
Les  équations  (16)  et  (18)  donnent 
« _ va2-o'2(y-^)  % o _va2—c2{v  — Xp) . 
Xa2 — u!2(X. — pv)  ; pa 2 — b'2{p  — X.v)  ' 
et , faisant  pour  abréger 
1 1 _ 
Xa2  — a'2(X — pv)  ’ pa2 — b'2(p  — X.v)  ’ 
1 
va2  — c'2  (v  — Xp)  W ’ 
l’on  déduit  au  moyen  de  l’équation  a2-t-/32-t-y2  = 1 : 
U - V w 
],  /?=;====,  7 = 
Y M2 — I — V2-k-  W2 
Yu2h-v2-+-  w2  ’ Y u2  V2- 
Kemplaçant  dans  ces  formules  a 2 par  b 2 et  ensuite  par  c2, 
on  trouvera  les  expressions  de  a,  ß',  y . a , ß , y . De 
cette  manière,  les  axes  de  l’ellipsoïde  seront  complètement 
déterminés  en  grandeur  et  en  direction.  Si  l'on  voulait  con- 
struire graphiquement  ces  axes,  on  pourrait  se  servir  d’un 
procédé  donné  par  M.  Chasles  dans  la  24-me  note  de  son 
Aperçu  historique  sur  f origine  et  le  développement  des  méthodes 
en  Géométrie. 
Substituons  dans  f(a2)  à a 2 les  valeurs  qui  rendent  nulle  la  somme 
des  termes  multipliés  par  a 2 — a'2,  c’est-à-dire  les  racines  de  l’équation 
(a2 — b'2)  (a2  — c'2)  — b'2c2X2  = O 
savoir: 
„ b'2- 1-  c'2  ± Y(b'2-t-  c')2  — - 4 b'2c'2  ( t --  X2)  _ 
a 2 ~ 
b'2-*-c'2  ± Y (b'2— c')2  -+-  Ab'2  c'2  X2 
2 * 
% 
qui  sont  évidemment  réelles  et  positives  Désignant  la  plus  petite  par 
m et  la  plus  grande  par  n,  on  verra  aisément  que  les  différences: 
(m  — b'2)  et  (m — c'2)  sont  négatives;  donc,  si  l’on  désigne  par  h et 
k deux  valeurs  réelles,  on  peut  poser 
m — b'2  = — h2 , m — c'2  = — k2 . 
ce  qui  donne 
X2  b'2  c'2  = (m  — b'2)  (m— c'2)  = h2k2, 
f(m)  = a2{hc'  p±kb'v)2; 
ainsi  f(m)  est  positive.  Les  différences  n — b'2,  n — c2  sont  positives 
et  peuvent  par  conséquent  être  considérées  comme  les  carrés  de  deux 
valeurs  réelles  h'  et  k' ; cela  posé,  on  aura 
f(n)  = —a'2(h'c'p±k'b'v)2\ 
donc  f yii)  est  négative.  Enfin  on  a f (oo)  = oo.  Par  conséquent  la 
fonction  f(a2)  change  trois  fois  de  signe,  quand  a 2 varie  d’une  ma- 
nière continue  des  0 à oo.  Ce  qui  prouve  que  cette  fonction  a ses 
trois  racines  positives. 
