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de  l’Académie  de  Saint  - Pétersbourg. 
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5.  La  méthode  que  nous  avons  exposée  pour  déterminer, 
en  grandeur  et  en  direction,  les  axes  d’un  ellipsoïde  au 
moyen  d’un  système  de  diamètres  conjugués,  peut  être  étendue 
facilement  aux  hyperboloïdes;  elle  devrait  entrer  dans  les 
traités  de  géométrie  analytique,  dans  lesquels  on  |se  borne 
ordinairement  à déduire  seulement  Les  équations  (10)  et  (11), 
sans  montrer  leur  résolution. 
6.  Les  théorèmes  connus  relatifs  à la  somme  des  carrés 
des  diamètres  conjugués  et  au  parallélépipède  construit  sur 
ces  diamètres,  se  déduisent  facilement  des  relations  qui 
lient  les  racines  de  l’équation  (19)  à ses  coefficients.  En 
effet,  ces  relations  donnent 
a2-f-  b2- 1-  c2=  a'2- r-  V2n-  c2 
b2c2-\-a2c2-\-a2b2=b  2c'2(i—X2)-t-a  2c  2(1 — fi2)-+-a'2b'2[  1 — v2) 
a2b2c2=  a'2b'2c'2  (1  — Â2  — fi2 — v2 -t-2Xfiv). 
En  vertu  de  la  première  de  ces  relations,  la  somme  des  car- 
rés d un  sijstème  de  diamètres  conjugués  est  constante. 
Les  valeurs  Vl — À2,  Vl — fi 2,  Vl — v 2 étant  celles 
des  sinus  des  angles  formés  par  les  diamètres  conjugués, 
b c V 1 — X2 , a c V 1 — /.r,  ab  Vl  — v2,  seront  les  faces 
du  parallélépipède  construit  sur  les  demi-diamètres  a , b',  c -, 
par  conséquent,  la  seconde  relation  exprime,  que  la  somme 
des  carrés  des  faces  de  ce  parallélépipède  est  constante. 
Si  l’on  désigne  par  p l’angle  dièdre  compris  entre  les 
plans  x Oz  et  x Oy  , on  aura 
x = uv  -+-  y i — y1 . Vi  — v2 . p 
d’où  il  vient 
1 —X2  — fi2 — v2-+-2Xfiv  = (1  — fi2)  (1  — v2)  (1  —p2); 
la  troisième  relation  donne 
abc  = abc  VT— -fi2  Vl  — v2  V \ — p2. 
Le  second  membre  exprime,  comme  il  est  facile  de  le  voir, 
le  volume  du  parallélépipède  construit  sur  les  demi-dia- 
mètres conjugués;  or,  puisqu’il  est  égal  au  volume  con- 
struit sur  les  demi-axes  a,  b,  c,  il  aura  une  valeur  con- 
stante. 
7.  Il  reste  maintenant  à trouver  les  expressions  des  mo- 
ments d'inertie  principaux  du  corps. 
Au  moyen  des  formules  (5),  eu  égard  aux  conditions  (2), 
les  intégrales 
P — fjjx2  dxdydz,  Q = fjjy2  dx  dydz , R = fJJz2dxdxjdz, 
se  transforment  en 
P — D [a2  P 
D 
n2 
D I ' 
-z  (a 
n 2 ' 
D 
ß2Q+fR)  = - 
[a  a 
ß2b 
„2/2 
). 
fa'2  a2- 
ß'2  62-t 
- ß"zb'2- 
y2c2) 
Q 
R — — [a  ~D~-4-y 
où  D est  le  déterminant  différentiel: 
aß  y — ßa  y -+■  ßy  a —yßa  - 
' o"  ' o" 
■ya  ß — a7  ß — 
Vl  - X2—  fi2— 
■ 2Xfiv. 
Le  volume  du  parallélépipède  construit  sur  les  demi-dia- 
mètres; a , b' , c exprimé  par  le  produit  Da  b c , étant  égal 
à abc , donne 
abc 
a'b'c’  ’ 
D = z,.,- 
par  conséquent  on  a 
a3  bc 
■*  9 / , / / 1 
n~  abc 
Q = 
ab3  c 
n2 a'b’c'  ’ 
et  les  moments  principaux  (4)  seront 
^ = raw  B 
çabc  -, 
R 
pabc 
abc 1 
n2a'b'c' 
n2  a'b'c' 
ri 2 a' b'  c' 
b2). 
8.  Désignant  par  l un  axe  quelconque  mené  par  le  centre 
d’inertie  du  corps,  par  k le  moment  d’inertie  relatif  à cet 
axe,  et  par  Ix , ly,  Iz  les  angles  formés  par  cet  axe  avec 
les  axes  principaux  , on  aura 
k = > R*2  -+-  °2)  c°s2  (/#) 
n2  a b c [_ 
= [a2  sin2  {lx)  b2  fiin*  ^ 
a2 c2)  cos2  [ly) 
b2)  cos2  (Iz)  J 
»*)]• 
9.  Avant  d’appliquer  la  théorie  que  nous  venons  d’ex- 
poser à des  exemples,  considérons  le  cas  particulier  de  Oz 
perpendiculaire  à Ox  , Oy  . Dans  cette  supposition  Oz  sera 
dirigé  suivant  un  des  axes  principaux  parce  que  le  plan  x Oy 
sera  un  des  plans  principaux  de  l’ellipsoïde  auxiliaire: 
c=c,  a =0,  ß =0,  y =1,  y = 0,  y=0,  z = z, 
A = 0,  p— 0,  ce  qui  réduit  les  formules:  (5),  (6),  (7),  (10), 
(11),  (12),  (13),  (19)  à 
b'2 
c'2 
= I. 
X : 
y : 
: ax 
r f 
a x 
ßy 
ß'y 
(5)  bis 
<x2-t-  a2=  1 
ß2~\~  ß'2=  1 
(6)  bis 
Si  l’on  suppose  que  Oz  se  confond  avec  Oz , on  aura 
aß -i -a  ß'=v  (7)  bis 
