ISO 
de  l’Académie  de  Saint.  Pétersbourg. 
190 
P = fjjx'2  dx'  dy  dz  , Q —JJJy  zdx  dy  dz  , 
Iï'=  /JJz2dx  dy  dz'. 
Posant  AA'=h,  aO  = p,  bc  = q et  effectuant  les  intégra - 
' i i • • h fl 
tions  par  rapport  à z entre  les  limites  — — et  ->  on  aura 
P — h JJx2dx dij , Q = h JJ  y 2 dx  dy  , 
R==  i&JTdx'dy'- 
Les  doubles  intégrations  qu’il  reste  à effectuer  doivent 
être  étendues  à la  surface  du  triangle  abc.  Or  on  trouve 
facilement 
JJ  dx  dy  =~p  , JJx  2dx  dy  = 
ffy2dxdy=P-^\ 
ce  qui  donne 
P'= 
.3  p3  qh 
32 
Q 
pq2  h 
32 
R = 
32 
P?**3 
16  ’ 
Par  conséquent,  les  carrés  des  demi -diamètres  conjugués  de 
l’ellipsoïde  auxiliaire;  a2,  b'2,  c 2 seront  respectivement 
proportionnels  à 3p2,  q 2,  2/t2.  Ainsi,  l’on  peut  poser 
a2=3p2£2,  b'2=q2e2,  c2==2h2 f2, 
£ étant  un  nombre  arbitraire,  et  l’équation  de  l’ellipsoïde 
sera 
y 
3 p2 
z'2 
w 
— r.2 
€ . 
Pour  une  certaine  valeur  de  f2,  cette  surface  est  circon- 
scriptible  au  prisme.  En  effet;  si  l’on  veut  que  le  sommet 
A soit  sur  l’ellipsoïde,  on  devra  déterminer  s2  de  manière 
à satisfaire  à l’équation  de  l’ellipsoïde  par  les  coordonnées 
du  point  A,  qui  sont 
x = — p,  y 
Cela  posé,  on  a 
0, 
11 
8 6 ’ f 24 
et  l’équation  de  l’ellipsoïde  devient 
y'2  z'2  Il 
J2  W-  ~ 24’ 
Dr  cette  équation  est  aussi  satisfaite  par  les  coordonnées 
x'2 
3 p2 
autres  sommets,  qui 
sont: 
x'=—p,  y = 
0, 
r 
Z — 
h 
- pour 
A\ 
, p , 
q 
t 
h 
B, 
x = Y'  y== 
2’ 
Z = 
— 2 Po«r 
• p > 
q 
f 
h 
b\ 
x = T,  y= 
2’ 
z — 
- pour 
' p ' q 
x=  T’  y=~r 
IL 
2 ’ 
y = — 
2’ 
' n 
z = — — pour  6. 
| = pour  C 
On  trouve  enfin  au  moyen  des  formules  de  l'article  (7)  les 
expressions  des  moments  d’inertie  principaux,  savoir; 
A = 
36  p abc 
5 
{b2- 1-  c2), 
1 1 2 
B = 
36  pake 
5 
(a2+c2), 
112 
C = 
36  p abc 
5 
{a2-+-  b2) , 
il2 
a,  b,  c étant  les  demi-axes  de  l’ellipsoïde  circonscrit. 
Dans  le  cas  particulier  d’un  prisme  droit,  l’axe  Oz  se 
confond  avec  Oz  , et  les  autres  axes  Ox , Oy  seront  ceux 
de  l’ellipse 
x'2 
3 p2 
qui  est  circonscriptible  au  triangle  abc  pour  £ — • 
Exemple  2.  Considérons  un  parallélépipède  oblique. 
Désignons  par  p,  q,  r ses  trois  arêtes  contiguës,  et  me- 
nons par  son  centre  O trois  axes  Ox',  Oxj ’,  Oz  parallèles 
à ces  arêtes.  Ces  axes  étant  pris  pour  ceux  des  coor- 
données, satisfont  évidemment  aux  conditions; 
JJJy  z dx  dy  dz  = 0,  fjfx  z dx  dÿ  dz  — 0, 
[Jf  x y dx  dy  dz ==  0 
et  par  conséquent,  elles  forment  un  système  d’axes  conju 
gués.  On  trouvex’a  facilement; 
r»3  ar  / ri  or  3*»  , nnr  3 
p’_P°qr  , p/3  r pyx° 
12  ’ 
12  ’ 
12 
Ces  valeurs  étant  proportionnelles  à p2,  q2,  r2,  on  pourra 
poser 
a'2=p2£2,  b'2=q2£2,  c2=r2f2, 
£ étant  un  nombre  arbitraire,  ce  qui  donne  pour  l’équation 
auxiliaire: 
7*^2  t/2  2^2 
_4_  = f 'C 
p2  q2  r2 
Cette  surface  est  circonscriptible  pour  £2=  ~ , et  inscrip- 
4 1 
tible  pour  f2=4--  En  vertu  des  formules  de  l’article  7 on  a; 
A = 
Spate  (62_ 
n 8 p a6c  « 
B = ~—  (a-n-c2). 
8p  abc  t 2 
(a2-t-  £2) 
pour  les  moments  principaux,  a,  b,  c étant  les  demi-axes 
de  l’ellipsoïde  inscrit. 
