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BSiillefin  pltysico.  mathématique 
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Exemple  3.  Nous  prendrons  pour  troisième  exemple 
un  tétraèdre  AB  CD  (fig.  2.)  Le  centre  d'inertie  0 de  ce 
tiff. 
corps  est  à l'intersection  des  trois  droites:  EF , GH , JK . 
qui  joignent  les  milieux  des  arêtes  opposées  *).  Ces  droites, 
comme  la  signalé  M.  Binet,  forment  un  système  d'axes 
conjugués.  En  effet:  si  l'on  désigne  par  Ox  , Oy  , Oz  les 
axes  des  coordonnées  dirigées  suivant  ces  droites,  on  verra 
que  le  plan  y Oz  qui  contient  la  droite  HR  parallèle  à 
l'arète  BC , et  la  droite  HJ  parallèle  à l'arète  AD,  est  lui- 
même  parallèle  à ces  deux  arêtes;  par  conséquent,  tout  plan 
qui  lui  est  parallèle  tel  que  LMNP  jouit  de  la  même  pro- 
priété. La  section  du  tétraèdre  par  ce  dernier  plan  est  un 
parallélogramme  LMNP  dont  le  centre  se  trouve  sur  l'axe 
Ox  , parce  que  cet  axe  est  l’intersection  des  plans  AFD  et 
EBC  qui  passent  par  les  milieux  des  côtés  opposés  du 
parallélogramme.  Par  conséquent  les  intégrales  //y  dy  dz  , 
■ fz  dy  dz  étendues  à la  surface  de  LMNP  sont  nulles, 
ce  qui  rend  aussi  nulles  les  intégrales: 
fjja  y dx  dy'  dz' = fx  dx  ffy  dy  dz\ 
jffx  z dx'  dy'  dz  = fx  dx  fjz  dy  dz  , 
étendues  à la  masse  totale  du  tétraèdre.  On  verra  de  même 
que  l’intégrale  fff y z dx  dy  dz  est  nulle.  Ainsi  les  axes 
Ox  , Oy , Oz  forment  un  système  d’axes  conjugués.  Dé- 
signons par  p et  p les  arêtes  opposées  dont  les  milieux 
sont  sur  Ox  ; par  g et  q , les  arêtes  qui  ont  l’axe  Oy  pour 
bissecteur;  par  r et  r , celles  qui  ont  pour  bissecteur  l’axe 
Oz  ; soient  de  plus  respectivement  7j,  £ les  longueurs 
des  droites  qui  joignent  les  milieux  de  ces  arêtes  opposées. 
Cela  posé,  on  trouve  facilement; 
l2=q~ 
r/2. 
P2—P’2 
P =/ffx'2  dx  dy'  dz'  = , 
Q ' =ffj  y 2 dx  d y dz  = y0^3  . 
R =C0Z' 2 dx  dy  dz  = , 
ce  qui  donne 
X1 
JF 
v2  z 2 
rT+tT 
V Y 
pour  l’équation  de  l’ellipsoïde  auxiliaire. 
Cette  équation  pour  £2—  N est  satisfaite  par  les  coor- 
données des  milieux  des  arêtes,  savoir: 
r £ 
r 
y = 
= 0. 
z'=0. 
x = 0 
y = 
— t-  X 
2 ’ 
s'=  0, 
x'  = 0, 
y - 
= 0, 
, f- 
z — + — 
2 ' 
et  comme  les  arêtes  sont  parallèles  aux  plans  diamétraux: 
y z , x z , x y , elles  touchent  l’ellipsoïde  ; on  conclut  de 
là  avec  M.  Binet  que  l'ellipsoïde  est  inscriptible  aux 
arêtes  Pour  s2=  — 
4 
, on 
aura  un 
ellipsoïde  circonscrit, 
parce  que  son  équation  est  satisfaite  par  les  coordonnées 
des  sommets 
qui 
sont  : 
x = — 
2 ’ 
y 
V 
2’ 
if 
pour 
x — 
1 
2 ’ 
y 
-4-  X 
— 2 ’ 
_ 5 
2 
pour 
B. 
r 
x — 
1 
2 ’ 
r 
y 
7 
2 ’ 

2 
pour 
C, 
X = 
1 
2 ’ 
r 
y 

pour 
D. 
Si  l'on  désigne  par  a,  b,  c les  axes  de  l'ellipsoïde  circon- 
scrit, on  trouve  pour  les  moments  principaux  les  valeurs: 
A 
lßafcc  p 
45  Y 3 
[b2- 
B 
Hjabc  p 
45  Y3 
— (a'-t-  c~ ), 
r 16a6c  p /kn 
~~  45  Yo  ■ 
.p'z — q2 — q' 2 
f-2- 
S - 
*)  Cette  proposition  a été  démontrée  par  Monge.  Voyez  le  T.  I de 
la  Correspondance  sur  l’Ecole  polytechnique  page  440 
Exemple  /£.  Soit  un  cylindre  oblique  à bases  paral- 
lèles et  elliptiques.  L’axe  du  cylindre  CC  avec  les  axes  de 
la  section  elliptique,  faite  parallèlement  aux  bases  par  le 
milieu  O de  CC  , forment  évidemment  un  système  d’axes  con- 
jugués. Soit  Oz  le  premier  de  ces  axes,  Ox  , Oy  les  deux 
autres,  g>  et  q les  demi-longueurs  des  axes  de  la  section 
elliptique  faite  par  le  plan  x Oy  et  r la  demi- longueur  de 
l’axe  du  cylindre  CC . Cela  posé,  on  trouve 
