19.3 
de  McadémieSaint*  de  Pélersbourg-. 
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' rrr  r , , , it  p7,  qr  > npq2r 
P — f Hx  - dx  dy  dz  = — , Q = 
li'  = 
2»pyrs 
3 
et  l'équation  de  l'ellipsoïde  auxiliaire  sera 
x'z  y'2  3 z'2  „ 
-4-  1 £ . 
p2  q2  4 r2 
Cette  surface  est  circonscriplible  au  cylindre  pour  e2 =~ • 
Dans  le  cas  particulier  de  Ox  perpendiculaire  au  plan 
y Oz',  cette  droite  sera  l'un  des  axes  de  l’ellipsoïde,  et  par 
conséquent,  elle  sera  aussi  un  axe  principal  du  cylindre. 
Les  deux  autres  axes  principaux  seront  les  axes  de  l’ellipse 
circonscrite  au  parallélogramme  de  la  section  faite  dans  le 
cylindre  par  le  plan  y Oz  . Les  moments  principaux  du 
cylindre  sont: 
A — — abc  (b2-+-  c2),  B - - P-  abc  ( a 2 -+-  c2)  , 
72 
abc  («2h-  b2). 
Exemple  5«  Considérons  encore  une  pyramide  quel- 
conque. Joignant  le  sommet  de  la  pyramide  au  centre  d’in- 
ertie de  la  base,  et  portant  à partir  du  sommet  les  trois 
quarts  de  cette  distance,  on  trouvera  le  centre  d’inertie  de 
la  pyramide.  Prenant  ce  point  pour  l’origine  des  axes  des 
coordonnées  Ox,  Oy',  Oz',  dont  l’un  Oz  est  mené  par  le 
sommet,  et  les  deux  autres  parallèlement  à la  base,  on  aura 
fff rz x dx’  dy  dz'=  0,  fffz y dx'  dy'  dz' — 0. 
En  effet:  en  représentant  ces  intégrales  sous  la  forme 
fz  dz  jfx  dx  dy',  fz  dz  ffy  dx  dxj  ....  (a) 
on  devra  étendre  les  intégrations  doubles 
ffx  dx  dy,  ff i dx'  dy 
à la  surface  d’une  section  faite  dans  la  pyramide  parallè  - 
lement à la  base  à une  distance  z de  l’origine;  or  le  centre 
d’inertie  de  cette  surface  étant  sur  l’axe  Oz',  on  a 
JJ'x'  dx'dy'—  0,  Jj'y  dx'  dÿ  — 0 
quel  que  soit  z , ce  qui  rend  nulles  les  intégrales  ( a ). 
Cela  étant,  si  l’on  choisit  les  directions  de  Ox  et  Oy' 
d’une  telle  manière  que  l’intégrale  /fx'xj  dx  dy' , étendue 
à la  surface  d’une  section  parallèle  à la  base,  devienne 
nulle,  on  aura 
ffx'  xj  dx'  dxj'  dz' = 0 
et  par  conséquent,  les  axes  Ox',  Oy',  Oz'  formeront  un  sy- 
stème d’axes  conjugués. 
Dans  le  cas  d’une  pyramide  à base  triangulaire,  la  sec- 
tion de  la  pyramide  par  le  plan  x Oy'  donne  un  triangle 
abc  semblable  à la  base,  et  qui  a son  centre  d’inertie  an 
point  O sur  la  droite  ad  menée  du  sommet  a au  milieu  du 
côté  bc.  Prenant  cette  droite  pour  l’axe  Ox',  et  menant 
Oy  parallèlement  A bc,  on  aura  // x xj  dx  dxj  — 0,  parce 
qu’à  chaque  valeur  de  x correspondront  deux  valeurs  de 
y égales  et  de  signes  contraires.  Donc  ces  deux  axes,  avec 
Oz  menée  par  le  sommet,  forment  un  système  d’axes  con- 
jugués. Désignant  par  J le  centre  d’inertie  de  la  base  ABC 
et  posant 
AJ=p,  BCz=q,  SO  =■  h, 
on  trouve 
p3  qh 
P--W’  e 
p q2  h 
12Ö" 
B'  ==  45  pqha, 
ce  qui  donne 
9p2 
o q* 
pour  l’équation  de  l’ellipsoïde  auxiliaire  qui  sera  circon- 
scriptible  à la  pyramide  pour  c2=-~-.  Quand  la  base  de 
la  pyramide  est  un  parallélogramme,  on  peut  prendre  les 
directions  de  Ox  et  Oy  parallèlement  aux  côtés  de  ce 
parallélogramme,  et  désignant  par  p et  q les  longueurs  de 
ces  côtés,  et  par  h la  distance  de  O au  sommet  de  la  py- 
ramide, on  trouve 
n' piflh  ri W tpqh2 
45  ’ V ~ 45  ’ 135 
et  par  suite  l’équation  de  l’ellipsoïde 
3 p2 
y'Z  z'2 
3 JJp 
E2. 
Mais  cette  surface  ne  jouit  pas  de  la  propriété  que  nous 
avons  rencontrée  dans  les  exemples  précédents  , d’être  cir- 
conscriptible  ou  inscriplible  au  corps. 
Ce  que  nous  avons  dit  plus  haut  au  sujet  des  axes  con- 
jugués d’une  pyramide  quelconque,  se  rapporte  aussi  à un 
cône.  Pour  un  cône  à base  elliptique  on  prendra  les  axes 
Ox',  Oy'  parallèlement  aux  axes  de  l’ellipse  qui  sert  de  base. 
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