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de  l’Académie  de  Saint  - Pétersbourg-. 
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parallèles,  en  tâchant  d éviter,  autant  que  possible,  les  pa- 
ralogismes de  ses  devanciers.  Après  avoir  exposé  deux 
méthodes  qui  lui  sont  propres,  il  s'arrête  en  définitive  au 
principe  de  l'homogénéité  qui  lui  paraît  être  le  seul  dont 
on  puisse  faire  usage  pour  la  démonstration  rigoureuse  de 
la  théorie  des  parallèles.  Ce  principe  revient  au  fond  à 
poser  entre  la  droite  et  les  courbes  cette  différence  essen- 
tielle, que  la  première  est  la  seule  parmi  les  lignes,  qui, 
pour  son  tracé,  n’exige  aucune  unité  linéaire  déterminée. 
Notre  géomètre  fait  voir,  que  le  développement  de  cette 
idée  conduit  non  seulement  à la  solution  rigoureuse  de  la 
difficulté  inhérente  à la  doctrine  des  parallèles,  mais  peut 
encore  servir  à démontrer,  d’une  manière  très  simple, 
d autres  théories  géométriques,  comme,  par  exemple,  celle 
des  lignes  proportionnelles.  — M.  Tchébychev,  avant  sa 
nomination,  avait  présenté  à l'Académie  la  première  partie 
de  ses  recherches  relatives  à la  théorie  des  mécanismes 
connus  sous  le  nom  de  parallélogrammes16).  Ce  travail 
ayant  été  admis  au  recueil  des  savants  étrangers,  nous 
tâcherons  à en  rendre  compte  ici,  en  peu  de  mots.  Faute 
d’une  méthode  directe,  on  détermine  les  éléments  de  ces 
mécanismes  d après  les  conditions  qu'on  croit  être  néces- 
saires pour  la  précision  de  leur  jeu.  L'auteur,  après  avoir 
montré  l’insuffisance  des  règles  qu’on  trouve  ainsi  pour  la 
construction  de  ces  mécanismes,  si  usités  dans  la  pratique, 
s’est  proposé  de  donner  une  méthode  directe  par  laquelle 
on  puisse  déterminer  les  éléments  les  plus  convenables 
pour  la  précision  de  leur  jeu.  Cette  méthode,  qui  fait  l’ob- 
jet du  mémoire  dont  nous  parlons,  conduit  encore  à la 
solution  d’autres  questions  où,  par  un  choix  convenable 
des  constantes  d’une  fonction,  on  cherche  à diminuer,  au- 
tant que  possible,  ses  déviations  d’une  autre  fonction,  pour 
toutes  les  valeurs  de  la  variable,  comprises  entre  les  limi- 
tes données.  M.  Tchébychev  fait  observer,  incidemment, 
le  parti  qu’on  peut  tirer  de  ces  sortes  de  considérations 
tant  pour  l'algèbre  que  pour  la  géométrie.  — Le  même 
Académicien  a continué  ses  recherches  sur  les  nombres 
premiers.  Dans  son  mémoire  présenté  à l’Académie,  en 
1850,  il  avait  établi  une  équation  d’où  l'on  tire  facilement 
la  démonstration  rigoureuse  de  certaines  propositions  sur 
la  répartition  des  nombres  premiers,  et  en  particulier,  celle 
du  postulalum  connu  de  M.  Bertrand.  Cette  dernière  pro- 
position est  du  nombre  des  vérités  qui  se  manifestent 
d’une  manière  très  prononcée  par  l’inspection  d’une  table 
des  nombres  premiers,  mais  dont  la  démonstration  rigou- 
reuse avait  échappé  jusqu'ici  aux  géomètres.  L’équation 
plus  générale  dont  M.  Tchébychev  communiqua  la  dé- 
couverte à l Académie,  en  mars  de  cette  année  17),  l'a  con- 
duit à constater  une  certaine  anomalie  dans  la  répai’tition 
des  nombres  premiers,  anomalie  qui  n’avait  pas  même  été 
remarquée  dans  les  tables  des  nombres  premiers,  savoir  la 
différence  qui  existe  dans  la  répartition  des  nombres  pre- 
miers de  la  forme  4n-i-l  et  4n-t-3,  et  qui  se  manifeste 
clairement  dans  plusieurs  séries  composées  de  ces  nom- 
bres. — Enfin,  le  même  Académicien  a publié  dans  le  jour- 
nal de  M.  Liouville,  un  mémoire  sur  l'intégration  des 
différentielles  irrationnelles18).  Outre  la  méthode  de  trou- 
ver le  terme  algébrique  dans  l’expression  de  ces  intégrales, 
quand  elles  sont  exprimables  sous  forme  finie,  notre  Géo- 
mètre montre  comment  on  peut  assigner  le  nombre  de 
termes  logarithmiques  dans  ces  expressions,  et  déduire  les 
conditions  qui  déterminent  chacun  de  ces  termes  séparé- 
ment. Pour  faire  sentir  l’importance  de  ces  recherches, 
nous  n’avons  qu’à  dire,  qu’on  y trouve  la  démonstration 
d'un  théorème  qui  comprend,  comme  cas  particulier,  celui 
qu’Abel  avait  désigné  comme  très  remarquable,  et  qui 
était  resté  sans  démonstration.  Les  résultats  trouvés  par 
M.  Tchébychev  offrent  plusieurs  applications  à la  mé- 
thode générale  d’intégration  sous  forme  finie.  Ainsi,  l'auteur 
applique  son  analyse  aux  différentielles  binômes,  et  par- 
vient à démontrer  que  leurs  intégrales  sont  des  transcen- 
dantes particulières,  tant  quelles  ne  sont  pas  du  nombre 
de  celles  dont  on  peut  trouver  la  valeur  d’après  la  méthode 
usitée.  M.  Tchébychev  a examiné  ces  différentielles  en 
supposant  qu  elles  sont  algébriques,  et  par  conséquent,  que 
les  exposants  qu’elles  contiennent  sont  rationnels  et  réels. 
Pour  achever,  dans  toute  sa  généralité,  la  théorie  d’intégra- 
tion des  différentielles  binômes  sous  forme  finie,  il  ne 
s'agit  plus  à présent  que  d’examiner  le  cas,  où  elles  con- 
tiennent des  exposants  irrationnels  et  imaginaires.  — M. 
Somov,  membre  correspondant,  nous  a communiqué  un 
mémoire  sur  les  axes  et  les  moments  principaux  des  corps 
homogènes  19),  mémoire  dans  lequel  le  savant  auteur  ajoute 
quelques  nouveaux  développements  à un  travail  analogue 
de  M.  Binet,  en  fournissant  une  méthode  complète  et 
directe  pour  déterminer  les  axes  et  les  monuments  princi- 
paux moyennant  un  système  d’axes  conjugués.  M.  Somov 
complète  son  travail  en  appliquant  sa  méthode  au  prisme 
triangulaire,  au  parallélépipède  oblique,  au  cylindre,  au 
tétraèdre,  à la  pyramide  et  au  cône;  il  donne,  de  plus,  un 
moyen  pour  trouver  les  axes  et  les  moments  principaux 
d’un  système  de  corps,  ceux  de  chaque  corps  isolé  étant 
connus.  — M.  Minding,  de  Dorpat,  a publié  dans  notre 
Bulletin  la  solution  générale,  qui  paraît  avoir  manqué  à 
Lagrange,  du  problème  des  oscillations  d'un  fil  suspendu 
à un  point  fixe  et  chargé  d’un  nombre  quelconque  de  poids 
inégaux  placés  à des  distances  quelconques  les  uns  des 
autres20).  M.  Minding  trouve  des  lois  comparativement 
simples  pour  les  oscillations  de  ce  fil. 
