A?  287.  BULLETIN  Tome  XH. 
JW  23. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO -MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-PÉTERSBOURG}. 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidoff  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume,  est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements,  et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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SOMMAIRE.  NOTES.  14.  Sur  les  maxima  et  les  minima  d'une  fonction  symétrique  entière  de  plusieurs  variables.  Bou- 
M4KOV6KY.  VOYAGE.  2.  Rapport  de  M.  Léopold  Schrenk  de  Rio -Janeiro. 
IT  O T X S. 
14.  Note  sur  les  maxima  et  les  minima  d’une 
FONCTION  SYMÉTRIQUE  ENTIÈRE  DE  PLUSIEURS 
variables;  par  V.  BOUNIAKOVSKY.  (Lu 
le  3 février  1 854.) 
Beaucoup  de  personnes  sans  doute  auront  fait  la  remarque, 
que  quand  la  fonction  dont  on  cherche  le  maximum  ou  le  mi- 
nimum est  symétrique  par  rapport  à toutes  les  variables,  la 
solution,  le  plus  souvent,  correspond  à Tbypothèse  que  ces 
variables  ont  une  valeur  commune.  Ainsi,  à égalité  de  péri- 
mètre, le  triangle  dont  la  surface  est  un  maximum,  est  équila- 
téral. Le  triangle  circonscrit  au  cercle,  avec  la  condition  d'a- 
voir une  surface  minimum , est  également  équilatéral.  Le  pa- 
rallélépipède rectangle  qui,  à égalité  de  surface,  comprend  le 
plus  grand  volume,  a ses  trois  arêtes  égales , et  coincide  par 
conséquent  avec  le  cube.  De  même,  un  nombre  quelconque 
doit  être  divisé  en  parties  égales  pour  que  le  produit  de 
toutes  ces  parties  soit  un  maximum.  On  pourrait  citer  beau- 
coup d'autres  exemples  qui  porteraient  à faire  présumer  qu'il 
y a plus  de  chances  pour  qu’une  fonction  symétrique  qui,  par 
sa  nature,  admet  un  maximum  ou  un  minimum,  l’obtienne 
plutôt  pour  des  valeurs  égales  des  variables  que  pour  des 
valeurs  inégales.  C’est  pour  constater  la  portée  de  cette  in- 
duction que  nous  allons  présenter  quelques  considérations 
dans  cette  Note  en  nous  bornant  au  cas  d’une  fonction  en- 
tière. 
Désignons  par  u une  fonction  symétrique  entière  d’un 
nombre  quelconque  de  variables  indépendantes  x,  y,  z 
Soit  m le  degré  de  cette  fonction  u que  nous  supposerons  la 
plus  générale  de  son  degré,  et  n le  nombre  des  variables 
x,  y,  z Pour  trouver  le  maximum  ou  le  minimum  de  u, 
on  devra  former  les  n équations 
(1) 
dont  chacune  sera  du  degré  m — 1 ; leur  résolution,  en  vertu 
du  théorème  connu  sur  l’élimination,  conduira  généralement 
à (m  — \)n  systèmes  de  valeurs  de  x , y,  z Sur  ce 
nombre  [m  — 1)"  de  solutions,  plusieurs  se  rapporteront  à 
des  valeurs  égales  de  toutes  les  variables,  d’autres  à des  va- 
leurs qui  ne  seront  pas  toutes  égales.  Or,  comme  la  fonction 
u est  symétrique  par  rapport  à toutes  les  variables,  les  équa- 
tions (1)  conduiront  à une  même  équation,  lorsque  l’on  y aura 
remplacé  les  inconnues  x,  y,  z.  . par  une  seule  d’entr  elles, 
par  exemple  par  x.  On  aura  donc  généralement  m — 1 
systèmes  pour  lesquels  toutes  les  inconnues  seront  égales.  — 
Considérons  maintenant  un  système  dans  lequel,  au  contraire, 
toutes  les  variables  sont  différentes  entr'elles,  par  exemple 
celui-ci  : 
x — a,  y — ß,  z — y. . . . 
Les  équations  (I),  vu  leur  forme  symétrique,  la  première  re- 
lativement à toutes  les  variables,  x excepté,  la  seconde,  y ex- 
cepté, la  troisième,  z excepté,  et  ainsi  de  suite,  admettront 
nécessairement  aussi  les  solutions  suivantes; 
