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Bulletin  physico  - mathématique 
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x = ß,  y = y,  z — a. . . . x = a,  y — a,  z = /?,•••• 
x = y,  y — a,  z — ß....  x = a,  y = ß,  z = a,.  . 
x — ß,  y=a,  z — a, 
Le  nombre  total  de  ces  systèmes  sera  déterminé  par  le 
nombre  de  permutations  de  n lettres  a,  ß,  y . . . et  sera  par 
conséquent  égal  au  produit  1.2.3......  Il  pourrait  arriver 
que  l’on  eut  plusieurs  groupes  de  systèmes  semblables  à ce- 
lui que  nous  avons  considéré  tout-à-l’heure.  Mais,  outre  ces 
deux  cas,  comprenant  les  systèmes  pour  lesquels  toutes  les 
variables  sont  ou  égales,  ou  inégales  entr’elles,  il  peut  s’en 
présenter  d’autres,  nommément  ceux,  où  seulement  quelques 
unes  des  variables  auraient  des  valeurs  différentes.  Ainsi,  en 
conservant  à la  fonction  entière  symétrique  u toute  sa  géné- 
ralité, on  sera  en  droit  de  poser  entre  m et  n la  condition 
suivante: 
{m  — l)"^1.2.3....n+  (m  — 1) , 
ou  bien 
[m  — 1 )"  1 (m  — 2)  12.3....« 
En  prenant  successivement  « = 2,  3,  4,  5 on  obtient 
la  petite  table: 
« m^> 
2  3 
3  4 
4  4 
5 4 
6  5 
7  5 
8  5 
Ainsi,  généralement  parlant,  le  degré  de  la  fonction  u ne 
peut  pas  être  inférieur  au  nombre  4 pour  trois,  quatre  et 
cinq  variables,  à 5,  pour  six,  sept  et  huit  variables  etc.  avec 
la  condition  que  cette  fonction  ait  un  maximum  ou  un  mini- 
mum pour  un  système  où  toutes  les  variables  auraient  des 
valeurs  distinctes.  Mais  comme  on  ignore  a priori  si  le  maxi- 
mum ou  le  minimum  de  la  fonction  proposée,  maximum  ou 
minimum  dont  on  reconnaît  l’existence  par  l’énoncé  même  de 
la  question,  correspond  à un  système  de  valeurs  de  x,  y,  z. . . 
toutes  différentes  entr’elles,  on  doit  admettre  et  examiner  le 
cas  le  plus  défavorable,  c’est-à-dire  celui  où  les  équations  (1) 
conduisent  au  moindre  nombre  possible  de  solutions,  pour 
lesquelles  toutes  les  variables  ne  seraient  pas  égales  entr’- 
elles. Ce  nombre  minimum  de  systèmes  se  présentera  évidem- 
ment dans  le  cas  où  toutes  les  variables,  moins  une,  auront 
une  valaur  commune.  Si  l’on  suppose  donc  que  a se  répète 
m — 1 fois,  et  que  ß n’entre  qu’une  fois  dans  chaque  sy- 
stème, on  aura  les  n solutions 
Ainsi,  en  exceptant  le  cas  de  l’égalité  de  toutes  les  va- 
riables entr’elles,  on  ne  pourra  pas  faire  d'hypothèse  qui  con- 
duise à un  degré  inférieur  de  la  fonction  u.  Cela  admis,  il 
sera  très  facile  de  démontrer  la  proposition  suivante: 
Le  maximum  ou  le  minimum  d'une  fonction  symétrique  en- 
tière, à un  nombre  quelconque  de  variables  indépendantes,  dont 
le  degré  est  inférieur  au  quatrième , correspondra  toujours  à 
l'hypothèse  pour  laquelle  toutes  les  variables  seront  égales  entr’- 
elles. 
Démonstration.  Observons  d’abord  que  si  la  fonc- 
tion symétrique  u n’est  que  du  second  degré,  les  équations 
(1)  seront  linéaires,  et  ne  conduiront  par  conséquent  qu’à  une 
seule  solution  pour  laquelle  les  variables  auront  une  valeur 
commune.  Soit  donc  u une  fonction  symétrique  entière  du 
troisième  degré,  la  plus  générale,  à un  nombre  quelconque  de 
variables  indépendantes.  Admettons,  pour  fixer  les  idées,  que 
ces  variables  soient  au  nombre  de  trois,  x,  y et  z.  Nous  aurons 
(*) 
Or,  par  la  nature  des  fonctions  — > — ? - » les  différences 
dx  dy  dz 
du  du  du  du  du  du 
dx  dy  ? dy  dz  ’ dz  dx 
seront  respectivement  divisibles  par 
x — y,  y — z,  z — x. 
Supposons  donc 
du  du 
dx  dy 
x — y 
cp  [x,  y,  z), 
et  par  conséquent 
du 
dx 
du 
- = [x  — y)  cp  [x,  y, 
(3) 
cp  représentant  une  fonction  linéaire,  symétrique  par  rapport 
h x et  y,  non-divisible  par  x — y.  Pour  trouver  les  valeurs 
inégales  de  x et  y qui  correspondent  au  maximum  ou  au  mi- 
nimum de  m,  on  remplacera  la  première  ou  la  seconde  des 
équations  (2)  par  l’équation 
cp{x,y,z)  — 0,  (4) 
et  l’on  résoudra  ces  trois  équations.  De  plus,  en  différentiant 
l'équation  (3)  d’abord  par  rapport  à #,  et  puis  par  rapport  à 
y,  l’on'  obtient 
