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de  l’Académie  de  §aint-Pétersbourg;l 
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dx2 
d2u 
dy2 
Soit  actuellement 
d2u  dru  , . , . dw 
+■  <P  («.  y,  z)-y-{x  — y) 
-t-  cp  (x,  y,  z)  — {x  — y)  0. 
dxdij 
d2u 
dxdy 
oc  — a,  y=ß,  z— a 
l’un  des  systèmes  qui  satisfait  à l’équation  (4).  Puisque  la 
fonction  cp  est  linéaire,  et  de  plus  symétrique  par  rapport  à x 
et  y,  — et  — seront  constants,  et  auront  une  valeur  com- 
J dx  dy 
mune  que  nous  désignerons  par  K.  Par  conséquent,  les  équa- 
tions précédentes,  pour  le  système  que  l’on  considère,  se  ré- 
duiront à 
d2u  d2u  . „ 
— — _ [a  — ß)  K. 
dy 2 dxdy  ' 
Le  produit  de  ces  deux  équations  donne 
d2u  d2u  / d2u  \2  , 
*?•*=<»)  -[a-WR' 
d’où  il  résulte 
d2u  d2u  - / d2n  \2 
dx2  dy 2 \dxdy)  9 
condition  incompatible  avec  l’existence  du  maximum  ou  du 
minimum  pour  un  système  où  les  trois  variables  ne  seraient 
pas  toutes  égales  entr’elles. 
L’inégalité  précédente  se  réduirait  à l’égalité 
d2u  d2n 
dx2  dy2 
( d2,t  Y 
\dxdyj 
si  l’on  pouvait  avoir  K = 0,  et  la  conséquence  relative  à la 
non- existence  du  maximum  ou  du  minimum  deviendrait  dou- 
teuse. Considérons  donc  ce  cas  à part.  Et  d’abord  observons 
qu’on  a alors 
d2u  d2u d2u 
dx2  dy2  dxdy  * * 
De  plus,  puisque  la  fonction  9,  déterminée  par  la  formule 
du  du 
, dx  dy 
9 [x,y,  z) 
X — y 
doit  être  linéaire  par  rapport  à toutes  les  trois  variables,  et 
symétrique  relativement  à a?  et  y,  on  aura 
cp  ( x , y,  z)  = K (x  H-  y)  -4-  Lz  -t-  M, 
K,  L et  M étant  des  constantes;  mais  la  première  d’entr’ elles, 
en  vertu  de  l’hypothèse  admise  — /{  est  nulle;  donc 
J r dxdy 
cp  ( x , y,  z)=  Lz-t~  M. 
On  obtiendra  de  même 
du  du 
dy  dz 
y — z 
du  du 
dz  dx 
Z — X 
— cp  (y,  z,  x)  — Lx  -h  M, 
= cp(z,x,y)  = Ly-t-M. 
Observons  maintenant  que  le  système  x = a,  y = ß , z = a 
devant  vérifier  l’équation 
cp  (x,  y,  z)  = 0, 
on  aura  pour  ce  système 
cp  [x,  y,  z)  = La- 1-  M=  0,  \ 
cp  [y,  z,  x)  = La-i-  M=  0,  > (6) 
cp  (s,  x,  y)  = Lß  -+-  M—  N.  ’ 
Or,  comme  nous  supposons  ß différent  de  a,  la  somme 
Lß  h-  M—  N ne  s’annulera  pas;  par  conséquent,  en  différen- 
tiant  l’équation 
du  du 
---  = {z-x)V[z,x,y) 
par  rapport  à z et  à x,  on  aura  les  deux  formules  suivantes; 
d2u  d2u  , , dœ 
-—  + <p(z,x,y)  + (z-x)-. 
dz2  dxdz 
d2u  d2u 
dx2  dxdz 
qui  se  réduisent  à 
+■  9 (*>  x>y)  — (*  — 
d2u d2u  jy.  d2u d2u 
dz2  dxdz  G dx2  dxdz 
n . , . d2u  d2u 
pour  x — ce,  y = ß,  z = a,  et  donnent  — = — . 
Ainsi,  en  nous  résumant,  on  aura,  pour  le  cas  actuel,  en 
d2u  d2u 
dx2  dz2 1 
vertu  des  formules  (5)  et  de  l’égalité  ^ = ~}  l’équation  con 
tinue 
d2u d2u  d2u  d2u 
dx2  dy2  dz2  dxdy 
Et  puisque  la  valeur  de  z est  la  même  que  celle  de  a?,  il  s’en 
suivra  aussi  que 
d2u  d2u 
dzdy  dxdy  ’ 
et  par  conséquent 
d2u  d2u  d2u  d2u  d2u 
dx2  dy2  dz 2 dxdy  dzdy 
(?) 
