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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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A cette  égalité  nous  joindrons  encore  celle  qui  vient  d’être 
trouvée  tout-à-l'heure 
d2u  d2u  „ 
dxdz  dx2  ’ 
N n’étant  pas  nul.  Or,  avec  ces  conditions,  le  maximum  ou  le 
minimum  est  impossible.  En  effet,  soient  respectivement  p,  q,  r 
les  accroissements  arbitraires  des  variables  x,  y,  z pour  le 
système  x = a,  y — ß,  z — a.  Représentons  dans  ce  cas 
par  A la  valeur  commune  des  dérivées  (7).  On  aura  pour  la 
différentielle  seconde  de  la  fonction  u la  valeur  suivante: 
d2u  = A (p2  -+-  q2  -+-  r2  -4-  2 pq  -+-  2 qr)  -+-  2 (A  — N)  pr, 
ou  bien 
d2u  = A (p  -+-  q -+-  r)2  — 2Npr.  (8) 
Or,  cette  expression  pouvant  évidemment  changer  de  signe 
à cause  des  arbitraires  p et  r,  la  fonction  u n’admettra  ni 
maximum  ni  minimum  pour  le  système  que  l’on  considère. 
Nous  avons  supposé  que  la  constante  N ne  pouvait  devenir 
nulle;  en  effet,  pour  satisfaire  en  même  temps  aux  deux  équa- 
tions (6) 
La-d-M=  0 et  Lß  -+-  M = 0 , 
« et  ß étant  différents  l’un  de  l’autre,  il  faudrait  que  l’on  eut 
séparément 
L = 0,  M—  0, 
ce  qui  réduirait  à zéro  les  trois  fonctions 
cp[x,y,z),  <p  (y,  z,  x) , cp(z,x,y), 
et  donnerait  identiquement 
du  du du  du du  du 
dx  dy  ’ dy  dz  ’ dz  dx  ’ 
d’où  l’on  tirerait 
du  du du 
dx  dy  dz 
et  par  suite 
du  = P [dx  -+-  dy  -H  dz); 
de  là  on  conclurait  que  u est  une  fonction  de  la  somme 
x -+-  y -+-  z,  et  le  problème  proposé  se  réduirait  au  cas  d’une 
fonction  à une  seule  variable. 
Il  résulte  de  cet  examen  que  si  une  question  sur  les  maxi- 
ma et  les  minima  conduit  à une  fonction  entière  symétrique 
du  troisième  degré  à trois  variables,  et  que  cette  question, 
par  sa  nature,  comporte  un  maximum  ou  un  minimum,  la  so- 
lution cherchée  correspondra  nécessairement  à un  système 
pour  lequel  les  trois  variables  seront  égales  entr’elles.  Cette 
conséquence  subsistera  également  pour  le  cas  d’une  fonction 
d’un  nombre  quelconque  de  variables  indépendantes;  il  sera 
facile  de  s’en  assurer  en  observant  que  le  terme  affecté  du 
coefficient  N dans  l’équation  (8)  ne  contiendra  pas  l’accrois- 
sement arbitraire  de  la  variable  dont  la  valeur  est  différente 
des  autres , tandis  que  cet  accroissement  entrera  dans  le  pre- 
mier terme  A [p  ■+•  y -+-  r -f- . . . . )2.  On  pourra  donc  toujours 
disposer  de  ce  nombre  arbitraire  de  façon  à ce  que  cPu 
change  de  signe. 
Il  s’agit  actuellement  de  savoir  ce  qui  arrivera  dans  le  cas 
où  le  degré  de  la  fonction  u surpassera  le  troisième.  Or,  nous 
allons  montrer  que  quel  que  soit  le  nombre  des  variables,  il 
existe  des  fonctions  entières  symétriques  du  quatrième  de- 
gré, et  à plus  forte  raison  de  degrés  supérieurs,  dont  le  maxi- 
mum ou  le  minimum  correspond  à des  systèmes  pour  lesquels 
toutes  les  variables  ne  sont  pas  égales  entr’elles.  Ainsi,  cha- 
cune des  deux  fonctions  symétriques  à deux  variables 
u—[(x  — a)2  -+-  [y  — ß)2]  [(æ  — ßf  -t  [y  — a)2], 
u — [x  — a)2  [x  — ß)2  -+-  ( y — a)2  [y  — ß)2 
obtient  évidemment  des  valeurs  minima , nommément  zéro, 
pour  les  deux  systèmes 
x — a,  y=ß  et  x — ß,  y = a. 
Il  en  sera  de  même  de  la  fonction  du  quatrième  degré  à un 
nombre  quelconque  de  variables 
U—  [x— a)2[x—  ß)2-i-[y— a)2  [y—ß)2-t-[z—a)2{z—ß]2-^.  . 
qui  a son  minimum  pour  les  systèmes 
x = a,  y = a,  z = ß, 
x — a,  y = ß,  z = a, 
x~ß,  y — a,  z = a, 
et  de  cette  autre  du  sixième  degré  à trois  variables 
u = [[x  — af  -h  (y  — oc)2  -+-(*  — Z5)2]  X 
[[x  — oc)2  {y  — ß)2  -+-(*  — a)2]  X 
\lx  — ß)2  -+-  [y  — a)2  -H-  [z  — oc)2]. 
Nous  observerons  de  plus  que,  passé  le  troisième  degré, 
non  seulement  on  ne  peut  pas  affirmer  a priori  que  la  fonction 
u n’atteindra  pas  une  valeur  maximum  ou  minimum  pour  des 
valeurs  différentes  des  variables,  mais  même,  qu’en  admet- 
tant une  pareille  solution,  elle  en  aura  nécessairement  une 
autre  pour  des  valeurs  égales  des  variables.  Ainsi,  comme  il 
est  facile  de  le  vérifier  par  la  méthode  ordinaire,  la  fonction 
symétrique  du  quatrième  degré 
n = [[x  - a)2  -f-  (; y - ß)2]  [(x  - ß)2  H-  [y  •> — a)2] 
admet  deux  minima,  égaux  à zéro,  qui  correspondent  aux 
systèmes 
x — a,  y = ß et  x = ß,  y = a, 
pour  lesquels  les  deux  variables  ont  des  valeurs  différentes  I 
entr’elles,  et  n’admet  ni  maximum  ni  minimum  pour  le  système 
réel  unique 
