Bulletin  pïiy  sleo  - mathématique 
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méridiens  ne  présente  aucune  difficulté , car  il  suffit  de 
mener  des  droites  par  le  sommet  du  cône  et  par  les  points 
d’intersection  du  parallèle  AM  avec  les  méridiens.  Quant 
au  tracé  des  parallèles,  il  faut  recourir  au  calcul.  11  est  aisé  de 
voir,  que  sur  la  surface  conique  les  parallèles  seront  repré- 
sentés par  des  cercles  tracés  parallèlement  à la  base  du  cône, 
et  la  question  à résoudre  ne  consiste  qu'à  trouver  la  distance 
entre  chacun  de  ces  cercles  et  le  sommet  du  cône.  Désignons 
ces  distances  consécutives,  en  commençant  du  cercle  AM, 
par  q,  q\  q' (ici  q — AO)  et  la  longueur  des  arcs  de 
ces  différents  cercles,  compris  entre  deux  méridiens  voisins 
par  ß,  ß',  ß" ... . Ces  arcs,  ayant  la  même  amplitude,  sont 
proportionnels  à leurs  rayons,  et  par  conséquent  aux  distances 
q,  q , q , savoir:  ß:q  = ß :q  = ß : q =....,  de 
sorte  qu’en  connaissant  q,  q , q .....  et  la  valeur  de  ß,  toutes 
les  autres  ß' , ß" ... . seront  connues. 
Si  l’on  désigne  les  arcs  infiniment  petits  consécutifs  d’un 
méridien,  en  partant  du  point  A vers  le  nord,  par  s,  s , s , 
et  les  arcs  des  parallèles  adjacents  aux  premiers  et  compris 
entre  deux  méridiens  par  b,  b , b (ici  b — ß),;  nous 
aurons  en  conséquence  de  la  règle  proposée  : 
sl. 
b’ 
b : s = ß : q — qr,d'oiq'=q  — 
De  même  b’  : s'  = ß'  : q'  — q 
" rr  tr  u 
b : s = ß : q — q 
n r 
q =q 
ÜL 
b' 
s"ß" 
b" 
etc. 
La  surface  de  notre  cône,  étant  développée  sur  un  plan, 
nous  représentera  une  série  d’arcs  de  cercles  concentriques, 
décrits  par  les  rayons  q,  q , q ....  du  point  o,  et  une  série 
de  lignes  droites,  passant  par  ce  point  o et  coupant  l’arc  am 
qui  correspond  à la  base  du  cône  développé,  en  parties, 
ayant  la  même  longueur  que  l’arc  AA  = b du  parallèle  sur 
la  surface  du  sphéroïde.  Prenons  sur  ce  parallèle  un  point 
M,  dont  P soit  la  longitude,  comptée  du  méridien  EAP,  qui 
passe  par  le  milieu,  et  supposons  que  le  point  rn  est  celui 
qui  lui  correspond  sur  la  carte,  c’est-à-dire,  que  l’arc  AM 
a la  même  longueur  que  l’arc  am.  Si  P est  exprimé  en 
secondes,  la  longueur  de  l’arc  AM  sera 
AM=P.  sin  î".  AC; 
où  AC  est  le  rayon  de  ce  cercle  du  parallèle. 
Mais  en  désignant  l’angle  aom,  exprimé  aussi  en  secondes, 
par  0,  on  aura 
am  = 0.  sin  1 . ao, 
et  comme  ao  est  égal  au  côté  AO  du  cône,  le  triangle 
rectangle  AOC,  dont  nous  mettons  l’angle  AOC  = A,  nous 
AC 
donnant  ylO=  ; l’expression  précédente  se  réduit  à 
am  — 0 sin  1 
H AC 
’ sin  P 
cas  spécial  de  celle  que  nous  décrivons,  vu  que  les  parallèles  peuvent 
être  envisagés  comme  dos  arcs  décrits  d’un  point  à une  distance  infinie. 
■(«)• 
Puisque  d’après  la  condition  AM=am , on  a 
~^  = P.AC 
sin  x 
d'où  0 = P.  sin  X = a P 
en  supposant  a — sin  À 
Nous  voyons,  que  pour  déterminer  sur  la  projection  l'angle  0, 
formé  par  deux  méridiens  dont  la  différence  de  longitude  est  P, 
il  faut  multiplier  cette  dernière  par  un  nombre  constant  a,  qui 
exprime  le  sinus  de  l'angle  formé  par  le  côté  du  cône  avec 
son  axe. 
Dès  qu’on  aura  calculé  la  longueur  de  tous  les  rayons  avec 
lesquels  on  décrit  les  cercles  parallèles  sur  la  carte,  et  les 
valeurs  des  angles,  formés  de  chacun  des  méridiens  avec 
celui  qui  passe  par  le  milieu  de  la  carte,  il  devient  facile 
de  tracer  immédiatement  la  projection , ce  qui  se  fera  le 
mieux,  à l’aide  des  coordonnées  dont  le  calcul  ne  présente 
aucune  difficulté.  En  effet,  traçons  sur  une  feuille  de  pa- 
pier la  droite  ao  que  nous  supposons  être  le  méridien  du 
milieu,  et  prenons  cette  droite  pour  l’axe  des  x , et  le 
point  o,  représentant  le  sommet  du  cône,  pour  l’origine  des 
coordonnées.  Soit  F le  point  à déterminer,  oF  — q le  rayon 
de  l'arc  du  parallèle  sur  lequel  il  se  trouve,  et  FoB=0=aP, 
l’angle  formé  par  le  méridien  passant  par  ce  point  avec  l’axe 
des  x.  Abaissons  de  F la  perpendiculaire  QF  sur  oB.  Cette 
perpendiculaire  sera  l’ordonnée  y,  et  la  droite  oQ  sera  l’abs- 
cisse x.  Le  triangle  rectangle  QFo  donne 
y = q 
sin 
I,  x — q cos 
•(2) 
où  0 = aP. 
§ 2.  Il  est  facile  de  voir  que  la  chose  essentielle  dans 
tous  ces  calculs,  consiste  dans  la  détermination  des  rayons  q. 
Voilà  la  résolution  de  cette  question  dans  toute  6a  généralité. 
Soit  a le  demi  grand-axe  du  méridien  elliptique,  e son 
excentricité,  F un  point  de  surface  ayant  l pour  lati- 
tude et  P pour  longitude,  à partir  d’un  méridien  quel- 
conque; N- 
V (1  — e2  sin  2l) 
sera  la  normale,  et  r = N cos  l le 
rayon  du  parallèle  sous  cette  latitude  L L’expression  de  l’élé- 
mentinfiniment  petit  de  l’arc  du  méridien,  dont  le  point  méri- 
dional a l pour  latitude,  comme  on  sait,  est 
ds  : 
a(  1 — e2) 
Y (1  — e2  sin  2 Z)3 
dl. 
(3); 
où  dl  désigne  la  longueur  de  l’arc  exprimée  en  parties  du 
rayon. 
Si  l’on  désigne  par  da  un  élément  semblable,  pris  sur  le 
cercle  du  parallèle  sous  la  latitude  l,  on  aura 
ou 
da  : 
da  : 
dP.r  = N cos  l.clP 
acosZ 
V(1  — e*sin2Z) 
.dP. 
