de  l'Académie  de  Saint  - Pétersbour^. 
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Dans  cette  formule  dP  a la  même  signification  que  dl  dans 
la  form.  (3). 
Si  fg  et  ff  représentent  les  arcs 
précédents  sur  la  projection,  nous 
pouvons  les  prendre  pour  les  ac- 
croissements infiniment  petits,  fg 
du  rayon  of=q,  et  jf  de  l’arc  bf , 
dont  la  valeur  angulaire,  comme  on 
sait,  est  0 — Per,  de  sorte  qu’on  a: 
fg  = - dq,  ff'  = QCt.dP. 
Nous  mettons  ici  devant  dq  le 
signe  — , car  à mesure  que  la  lati- 
tude augmente  le  rayon  q devient 
consécutivement  plus  petit. 
Comme  la  principale  condition  de  notre  problème  consiste 
dans  l’équation  suivante: 
On  peut  donner  au  second  facteur  de  la  formule  une  forme 
semblable  mettant,  e sin  l = sin  ip  *).  Par  ce  moyen 
i i 
/1-r-esint,2  , , . , /1-t-sin  \5 
(j=Wi) se  redu"  a (ï=sïï7)  = '""g  («°-*- H». 
et  notre  formule  prendra  la  forme  suivante: 
, [V  (45° -Hfl)  T 
g=*L^r«*-Hi)  J °“  b,e"  <? 
fY 
en  posant  u- 
tg  (45° 
n/(45° 
iD 
, v — lge{ 45° 
et 
smi])=e&m  l 
.(5) 
.(6) 
(*)• 
fg 
ff' 
ds 
do 1 
nous  aurons  en  substituant  ici  les  valeurs  correspondantes: 
dp  _ (l  -e2).âl 
aç.dP 
ou  bien  ^ = - 
cos  Z (1  — e2  siu  2l)dP 
a(i  —e2).dl 
cosZ(l  — e2sin2Z) 
Il  est  digne  d’attention,  que  la  quantité  u,  n’étant  qu’une 
fonction  de  la  latitude  l , et  ne  dépendant  ni  de  a,  ni  de 
k,  c’est-à-dire,  d’aucune  condition  particulière  de  la  carte, 
peut  être  donnée  par  une  table  auxiliaire.  Ce  calcul  se  fait 
très  aisément:  on  commence  par  déterminer  la  quantité  *ip 
de  l’équation  (7),  puis  on  trouve  la  valeur  de  log  v de  l’équa- 
tion (6),  et  enfin  u.  Voici  d’ailleurs  la  marche  de  tout  ce 
calcul,  pour  la  latit.  ï=58° 30  , en  supposant,  suivant  Bessel, 
ce  qui  correspond  à l’aplatissement  — )• 
log  tg  0.0303012 
■e. 
En  intégrant  nous  aurons 
iog  »= kg 
° s 0 |_\1 — esml/  \l-i-sm/J 
où  c désigne  la  quantité  constante  et  log  le  logarithme  népé- 
rien. Pour  déterminer  cette  constante  c,  il  suffit  de  supposer 
l=o,  car  alors  cette  équation  se  réduit  à log  ç=log  1-t -c 
ou  log  q—c,  ce  qui  montre  que  la  constante  c est  égale  au 
log  népérien  du  rayon  qui  décrit  sur  la  projection  1 arc  de 
l’équateur.  En  égalant  la  longueur  de  ce  rayon  à k,  c=log  k, 
nous  aurons 
■(*). 
log  e=8. 91 22052 
log  sin  £=9.9307658 
1« 
log  sin  y=8. 84297 10 
ip=  3°59  39^64 
hp=  1.59.49,82 
45°-t-iy=46. 59.49.82 
iogç=iog  {*[(£££})  (bS)]  } 
et  enfin 
I (t  1 
/I  — sinZV  /1-f-esinZV 
^ \l~HsinZy'  — esinZ/ 
ce 
log  6=8.91 22052 
log  log  r=7. 3936651 
log  «=0024755 
compl.  log  «=9.9975245 
log  tg  (4 5 °-t-  g l)=0. 5 497 060 
log  «=0.5472305 
§ 3.  En  faisant  attention  à la  manière  de  tracer  cette  pro- 
jection, nous  pouvons  voir  facilement  que  nonobstant  la  res- 
semblance  des  quadrilatères  minimes  formés  par  les  méridiens 
et  les  parallèles,  avec  ceux  qui  leur  correspondent  sur  la  terre, 
la  longueur  de  leurs  côtés  ainsi  que  de  toute  autre  ligne, 
se  conserve  seulement  sur  le  parallèle  qui  appartient  con- 
jointement au  sphéroïde  et  au  cône.  Proposons-nous  mainte- 
nant de  déterminer  le  rapport  existant  entre  la  longueur 
Telle  est  la  formule,  donnée  par  Gauss,  pour  calcu- 
ler la  longueur  du  rayon  qui  décrit  sur  la  projection  le 
cercle  du  parallèle,  correspondant  à la  latitude  l.  Les 
quantités  k et  a sont  des  constantes  arbitraires.  Nous  ex- 
poserons plus  tard  comment  les  choisir;  mais  à présent, 
en  les  supposant  connues,  cherchons  pour  notre  équa- 
tion une  transformation  propre  aux  calculs  logarithmiques. 
Nous  avons: 
*)  Cette  équation,  proposée  par  Gauss,  procure  en  général  un 
moyen  de  simplifier  plusieurs  expressions  compliquées,  en  les  repré- 
sentant sous  la  forme  la  plus  simple.  C’est  ainsi  que  l’expression  de  la 
a 
normale  ÏV=  —, — en  y mettant  sin  f au  lieu  de  e sin  l, 
se  réduit  à Ar  = 
V(l  — e2sin2Z)' 
a 
= . De  même,  l’équation  ex- 
cos y 
Y(  1 — sin2y) 
primant  la  longueur  du  rayon  de  courbure  du  méridien,  savoir 
a(l  — e2)  a(l  — e2) 
se  réduit  a R = = — . Les  calculs  de  N et  R 
Il  = 
G- 
1 — sinZ\5 
siniy 
cos3  f 
!»  (45®-*-#) 
■/(l  — e2sin  203 
d’après  ces  formules  sont  beaucoup  plus  faciles  qu’au  moyen  des  séries, 
proposées  par  les  géomètres  français. 
