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Bulletin  physîco  - mathématique 
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d’un  arc  quelconque  sur  le  sphéroïde  terrestre  et  celle  qui 
lui  correspond  sur  la  projection.  Prenons,  par  ex.  sur  un 
méridien  quelconque  sous  la  latitude  l un  arc  infiniment  petit 
qui  (voj.  la  form.  3)  est, 
a(l— e2)dl 
fl  C ■ — — , 
"/(  1 — e2sin2/)3' 
Mais  l’arc,  qui  lui  correspond  sur  la  projection,  est  — dq; 
dont  la  valeur  s’exprime  par  la  formule  (4),  savoir: 
<xp(l—  e2)dl 
® cas/(l — e2sin2/) 
Ainsi,  le  rapport  cherché  que  nous  désignerons  par  m,  sera 
w^^g^aP(1-e2siD2f)è (8) 
ds  acosl  ' 
et  comme 
(1 — easin'2/)! 
-N,  N cos  l=r,  nous  aurons 
m: 
_fp_. 
iVcos l 
«P 
ak 
ru “ 
(9). 
Cette  équation  prouve  que  m varie  avec  la  latitude  l ; pour 
déterminer  la  latitude,  qui  correspond  au  minimum  de  m,  il 
faut  égaler  l’expression  ~ (qui  se  trouvera  de  l’équ.  8)  à zéro 
et  puis  résoudre  cette  équation  par  rapport  à l.  Pour  faciliter 
ce  calcul,  prenons  d’abord  le  logarithme  népérien  de  l’équa- 
tion (8),  et  on  aura  en  différentiant 
dm dp  e’sini.cosZ.d/  sin  Ldi 
m p 1 — e2sin2J  cost  ’ 
en  remplaçant 
dp 
P 
par  sa  valeur  que  nous  donne  l’équation  (4), 
et  après  toute  réduction  faite,  on  a 
dm  m(  1 — e2)(sin/ — a) 
dl  (1 — e2sia2/)cosi 
Il  est  évident  que  cette  expression  ne  peut  être  égale  à zéro, 
que  pour  sin  l — a— 0,  ou  bien  a=sin/;  ce  qui  prouve  que 
la  latitude  cherchée , qui  correspond  au  minimum  de  la  quantité  m, 
est  précisément  celle  dont  le  sinus  est  égal  au  nombre  constant  a, 
faisant  partie  des  équations  mentionnées. 
Nous  avons  désigné  précédemment  par  a le  sinus  de  l’angle 
formé  par  le  côté  du  cône,  avec  son  axe;  ainsi  cet  angle  est 
égal  à la  latitude  qui  correspond  au  minimum  de  m.  Nous 
désignerons  dorénavant  cette  latitude  par  A.  Cette  quantité 
étant  donnée,  nous  pouvons  déterminer  a et  vice  versa. 
§ 4.  Pour  compléter  cet  exposé,  nous  y ajoutons  les  re- 
marques suivantes: 
1)  Dans  la  formule  (9)  les  valeurs  q et  r correspondent 
à la  même  latitude,  concernant  laquelle  on  cherche  m.  S’il 
s'agit  de  la  latitude  du  parallèle  qui  sert  de  base  au  cône, 
r représente  le  rayon  de  cette  base,  q le  côté  du  cône.  Le 
triangle  rectangle  A OC  (fig.  1)  donne  r=q  sin  AOC— qsinA=qa; 
ainsi,  en  introduisant  cette  expression  dans  la  formule  (9), 
nous  aurons 
“P  _ | . 
m = — = 1 , 
ap 
ce  qui  signifie,  que  les  arcs,  pris  sur  ce  cercle  de  parallèle 
conservent  leurs  longueurs  respectives  sur  la  carte. 
2)  Pour  déterminer  le  nombre  constant  k des  formules 
précédentes,  il  suffit  de  connaître  la  latitude  l du  parallèle 
pour  lequel  m=\  ; l’équation  (9)  sera  alors 
d’où 
ap  ak 
r rua 
rua JVcosl.ua  1 
a a 
(10). 
3)  En  supposant  que  le  cône  AOC  (fig.  1),  construit  sur 
le  parallèle  dont  la  latitude  est  l,  est  tangent  au  sphéroïde 
terrestre,  le  triangle  AON,  dont  le  côté  AN  est  la  normale, 
sera  rectangle  et  son  angle  AÏVO— 90° — O— 90°  — A;  mais 
comme  l’angle  ANO  se  trouve  être  aussi  le  complément  de 
la  latitude  l du  point  A,  ANO— 90°  — l,  nous  en  concluons 
que  1= A,  et  par  conséquent  le  minimum  de  m , pris  sur  la 
projection  qui  représente  le  développement  de  la  surface  co- 
nique tangente  au  sphéroïde,  se  trouvera  sur  le  parallèle  qui 
appartient  conjointement  au  sphéroïde  et  au  cône,  et  sera  =1. 
Pour  tous  les  autres  parallèles  m sera  ^>1,  et  il  augmentera 
à mesure  que  les  parallèles  s’éloignent  de  la  latitude  A. 
4)  Dans  le  cas  que  le  cône,  comme  AO  C construit  sur  le 
parallèle  AC,  se  trouve  dans  l’intérieur  du  cône  AOC  tangent 
au  sphéroïde,  l’angle  AO  C— A sera  )>  que  l’angle  O.  Mais 
en  considérant  que  l’angle  O est  égal  à la  latitude  l du  paral- 
lèle AC  pour  lequel  m=  1,  et  l’angle  AO  C—  A est  égal  à 
la  latitude  qui  correspond  au  minimum  de  m,  nous  en  con- 
cluons que  le  parallèle  sous  la  latitude  A doit  être  situé  plus 
au  nord  que  le  parallèle  AC.  Par  conséquent  la  valeur  m 
prise  sur  la  projection  représentant  le  développement  de  la 
surface  conique  AO  C,  ù partir  du  parallèle  AC,  deviendra 
consécutivement  plus  petite,  ù mesure  que  la  latitude  aug- 
mentera. Cette  diminution  cessera  lorsqu'on  aura  atteint  la 
latitude  A,  et  si  l’on  monte  encore  plus  au  nord  la  valeur  m 
augmentera  , de  sorte  qu’évidemment  il  doit  exister  une 
latitude  quelconque  l sous  laquelle  m redeviendra  = 1. 
Ceci  nous  amène  à résoudre  le  problème  suivant; 
Etant  données  les  deux  latitudes  l et  l"  qui  correspondent 
à m—  1,  trouver  la  latitude  qui  correspond  au  minimum  de  m. 
En  désignant  par  q , r , u et  q , r , u les  valeurs  de  q,  r,  « 
qui  correspondent  aux  latitudes  l et  l , l’équation  (10)  sera; 
4 ük  , 4 0k 
1 — ~T~frL  et  1 — //  //g» 
rit®  r u a 
Nous  aurons  par  conséquent  : 
' 'tr  " "a.  ^ 
ru  —r  u , -,77  — (ÿj 
a 
