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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg'. 
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d'où  résulte  que 
logr' — \ogr" 
logw  — log  u‘ 
-,  = sin  X 
(il); 
après  quoi  on  trouve 
kz 
/„'a 
OU  : 
r u 
a 
(12) 
où  r —rf cosl'  et  r'z=N"cosl". 
§ 5.  Dès  que  les  coordonnées  de  tous  les  points  seront  cal- 
culées d’après  les  formules  précédentes,  et  qu’  à l’aide  de  ces 
valeurs  la  projection  sera  construite,  il  est  évident  que  cette 
dernière  représentera  en  miniature  la  surface  conique  sus- 
mentionnée et  non  la  surface  du  sphéroïde  terrestre.  Désig- 
1 
nons  l’échelle  de  cette  diminution  par  - : ce  qui  veut 
A 
dire,  que  chaque  ligne  sur  la  carte  est  p fois  plus  petite 
que  sa  correspondante  sur  la  surface  conique.  Convenons 
d’appeler  cette  échelle  l'échelle  principale.  Les  distances 
entre  les  points  de  la  carte,  mesurées  au  moyen  de  cette 
échelle,  ne  représenteront  les  longueurs  des  distances  cor- 
respondantes sur  la  terre,  excepté  le  cas,  où  elles  se 
trouveront  situées  sur  le  parallèle  correspondant  à m= 1. 
Ainsi,  pour  avoir  la  facilité  de  juger  d’après  la  carte,  des 
véritables  distances  sur  la  terre,  il  est  indispensable  de  dé- 
terminer, pour  chaque  parallèle,  l’échelle  qui  lui  correspond. 
Afin  de  distinguer  ces  échelles  de  l’échelle  principale,  nous 
les  nommerons  échelles  partielles  en  les  désignant  par—,. 
Désignons  la  longueur  d’une  ligne  quelconque  sur  le  sphé- 
roïde terrestre  par  5,  la  longueur  correspondante  sur  la 
surface  conique  par  a (nous  avons  ici  <jz=mS')  et  enfin  la 
longueur  de  cette  même  ligne  sur  la  carte  par  s.  En  supposant, 
que  ces  trois  valeurs  sont  exprimées  par  des  unités  de  la 
a mS  , 
: — = - — > d ou  suit,  que 
AA 
meme  espece,  nous  aurons  s-. 
ou  = in  X Mais  la  quantité^  désigne  le  rapport 
existant  entre  la  longueur  de  la  ligne  sur  la  carte  et  celle 
qui  lui  correspond  sur  la  terre,  c’est-à-dire  l'échelle  par- 
1 
tielle  —,  et  on  voit  que  cette  échelle  est  égale  à la  prin- 
ft 
cipale,  multipliée  par  le  nombre  m,  qu'on  trouve  de  l'équat.  (9). 
Pour  exprimer  graphiquement  l’échelle  partielle,  suppo- 
1 
sons  que  d’après  l’échelle  principale  — , un  pouce  repré- 
ft 
sente  n toises,  et  qu’on  veut  savoir,  par  quelle  longueur 
sera  représenté  le  même  nombre  de  n toises  sur  la  carte 
1 
sous  la  latitude  ayant  -y  pour  échelle.  Si  nous  désignons 
fl 
la  longueur  de  la  ligne  cherchée,  exprimée  en  pouces,  par  s, 
n’oubliant  pas,  qu’avant  de  comparer  n toises  avec  la 
ligne  s,  il  est  indispensable  de  les  exprimer  aussi  en  pouces, 
ce  qui  revient  à multiplier  n par  72;  de  sorte  que  le  rapport 
cherché  sera  i = — • Mais  le  dénominateur  u dans 
72n  a a r 
l’échelle  principale  —,  n’exprime  autre  chose , que  72n  ; 
ft 
on  a donc  sz=m.  Ainsi  le  nombre  abstrait  m , déterminé  par 
la  formule  (9),  et  correspondant  à une  latitude  quelconque  l, 
étant  représenté  graphiquement  en  parties  centésimales  d'un  pouce , 
exprime  sous  celte  latitude  n toises,  c’est-à-dire,  le  même 
nombre,  que  celui  qui  a été  adopté  pour  un  pouce  d’après 
l’échelle  principale. 
§ 6.  Nous  avons  vu  plus  haut,  que  pour  déterminer  le 
nombre  constant  a,  il  est  indispensable  de  connaître  la  lati- 
tude X du  parallèle , qui  correspond  au  minimum  de  m,  et 
pour  déterminer  h,  la  latitude  du  parallèle  correspondant 
à m=l.  Donc  pour  tracer  une  carte  quelconque,  il  faut  faire 
le  choix  de  deux  parallèles:  l’un  pour  l’échelle  principale  et 
l’autre  pour  le  minimum  des  échelles  partielles.  II  est  évident 
que  l’un  et  l’autre  choix  est  purement  arbitaire.  En  traçant, 
par  exemple,  la  carte  de  la  Russie,  nous  aurons  pour  limites 
extrêmes  au  nord  et  au  sud , les  parallèles  de  40°  et  70° 
de  latitude,  et  les  nombres  a et  k pourront  être  déterminés 
d’après  l’une  des  conditions  suivantes: 
1 Cas.  lé  échelle  principale  doit  être  le  minimum  des  échelles 
partielles  et  se  rapporter  au  parallèle  du  milieu.  Il  suffit  alors 
de  substituer  la  latitude  A=55°  au  lieu  de  l,  dans  la  for- 
mule (10),  et  nous  obtiendrons: 
a — sin  55°,  log  a=9.9133645. 
rua  iVcos55°  „ „ . _ 
k=  — = — iVcotg550M 
a sin5o 
ou 
0/(4  5°-i-220i)  . . 0 
-,  sin^;=esin55  . 
tge{45°-t-'îf) 
Le  calcul  logarithmique  nous  donne  : 
log  log  w = 9.6980132,  log  iV=6. 8056180  en  mètres  *) 
et  log  k—T. 0595 194  mètres. 
Pour  juger  du  changement  qui  s’est  opéré  dans  l’échelle, 
trouvons  pour  les  limites  extrêmes  de  la  carte,  la  valeur  m 
de  l’équation  (9),  savoir  : m ■■ 
aç> 
cp 
, Ainsi,  en  suppo- 
Ncosl 
sant  i=40°,  nous  aurons: 
log  logit=9. 5 178061 , logç=6.7896394m,  logfe6.8052429ra; 
et  m=  1.03 159. 
Mais  en  supposant  ?=70°,  nous  trouverons 
log  log  u= 9.8756122,  log  ç=6.4443754,  log  iV=6.8059269, 
et  m=  1.04175. 
*)  Dans  tous  ces  exemples  les  dimensions  du  sphéroïde  terrestre, 
d’après  Bessel,  sont  les  suivantes: 
log  e=8.9122052,  l’aplatissement  = ■ ^ 
log  a = 6.5148235  337  en  toises,  log & = 6.51 33693  539  en  toises 
= 6.8046433  548  en  mètres,  =6.8031891  750  en  mètres, 
et  la  longueur  du  quart  du  méridien: 
log  0 = 6.7102173  389  en  toises 
= 7.0000371  600  en  mètres. 
