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Bulletin  pïiysieo  - mathématique 
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Par  conséquent,  si  nous  prenons  sur  le  sphéroïde  une  ligne 
de  100  kilomètres  ou  100000  mètres,  sous  la  latitude  40°, 
la  longueur  de  celte  ligne.  mesurée  sur  la  carte,  à l’aide 
de  l’échelle  principale,  sera  s£=.mS,=  1031G9  mètres,  et  si 
la  même  ligne  est  prise  sous  la  latitude  70",  on  aura 
s = 1 0 V 1 7 5 mètres. 
2e  Cas.  Les  échelles  partielles  doivent  être,  égales,  sur.  les  limites 
extrêmes  de  la  carte , et  le  minimum  de  ces  échelles  doit  coïnci- 
der avec  l'èclielle  principale , La  latitude  2:s,e  trouvera  de  l'équa- 
tion (11).  En  y supposant  l =40°,  l =70°,  nous  aurons 
en  mètres: 
log  /=6.68949G9  log  u— 0 329462G 
log  / =6.3399786  log  «"=0.7509520 
le  numérat.  = 0.3495183  . . log=9.5434699 
le  dénomin. =0.421 4894  . . log=9.62478G7 
log  a ou  log  sin  2=9.9186832 
2=56°  T 17". 
Par  conséquent,  le  minimum  des  échelles  partielles  sera 
situé  sous  la  latitude  56°  t 17  ; mais  comme  ce  minimum 
doit  être  l’échelle  principale,  nous  aurons  m=l,  et  le 
nombre  k se  trouvera  de  l’équation  h = - = NcotX.ua. 
Le  calcul  logarithmique  donne  pour  cette  latitude; 
log  log  u=9. 7097396,  logïV=6.8056422  mètr. 
et  log  4=7.0593 1 30. 
Si  l’on  met  ces  valeurs  de  a et  I:  dans  l’équation  (9),  on 
aura  m=\. 03584,  correspondant  à ^ = 40°  et  l'  = 70°. 
3e  Cas.  Les  échelles  partielles  doivent  être  égales  sur  les 
limites  extrêmes  de  la  carte , et  l'échelle  principale  doit  se  rap- 
porter à une  latitude  l quelconque. 
On  trouve  a,  comme  dans  le  cas  précédent,  par  l’équ.  (11), 
et  la  quantité  k par  la  formule  (10),  en  y mettant  N et  n 
correspondant  à la  latitude  l donnée. 
Il  est  évident  que,  sans  compter  le  parallèle  correspon- 
dant A la  latitude  l , il  s’en  trouvera  encore  un  auquel  se 
rapportera  l’échelle  principale.  Par  exemple  si  Z=50°  (en 
supposant  toujours  l =40°  el  l =70),  nous  pourrions  ob- 
tenir par  le  calcul,  que  ce  parallèle  se  trouve  situé  appro- 
ximativement sous  la  latitude  62°. 
4e  C as.  L’échelle  principale  doit  se  rapporter  à deux  parallèles 
correspondants  aux  latitudes  l!  et  l \ 
Le  nombre  a devra  être  déterminé,  comme  dans  les  cas 
précédents,  c’est-à-dire  par  la  formule  (11),  et  le  nombre  k 
se  trouvera  de  l’équation  (9). 
Ainsi,  en  supposant  l'= 50°  et  ^=60°,  nous  obtiendrons 
log  a ou  log  sin  2=9.91 39237,  d’où2=55°6  20^;  après  quoi 
l’équation  (10)  nous  donnera  en  mètres  log  4=7.0578329. 
En  posant  ces  valeurs  de  a et  k dans  l’équation  (9),  nous 
trouverons  : 
pour  l'  =40° m=  1.02809 
„ l =55°  m=0.99620  *). 
« /"  = 70° m=  1.03715. 
§ 7.  Ap  rès  avoir  déterminé  a et  k,  comme  nous  avons 
espliqué  au  § précédent,  on  pourra  commencer  à calculer 
les  valeurs  de  0,  q,  x et  y.  Quoique  cette  opération  ne  pré- 
sente aucune  difficulté,  nous  croyons  utile  de  faire  quel- 
ques remarques  sur  ce  sujet. 
1)  En  supposant  qu’on  veuille  tracer  sur  la  carte  les  mé- 
ridiens et  les  parallèles  de  1°  à 1°,  il  est  nécessaire  de  dé- 
terminer 0 pour  chaque  degré  de  longitude.  Pour  atteindre 
ce  but,  on  prend  d’abord  P=  1°  ou  3G00  , et  ayant  trouvé 
0 —3600  a,  on  le  multiplie  consécutivement  par  2,  3,  4.  ...  ; 
les  produits  exprimeront  la  valeur  deô=ai)pouri>=2°,  3°. . . . 
2)  On  obtient  les  coordonnées  de  la  formule  (2)  exprimées 
dans  les  mêmes  unités  linéaires,  par  ex.  toises,  mètres  etc., 
que  le  rayon  ç,  et  celui-ci  de  la  form.  (5)  dans  les  mêmes 
unités  que  k,  enfin  cette  quantité  4,  qu’on  détermine  par  la 
formule  ( 1 0) , dans  les  mêmes  unités  que  la  normale  N. 
Mais  pour  tracer  les  coordonnées  à l aide  d’une  l’échelle  de 
transversales,  il  est  nécessaire  que  les  coordonnées  soient 
exprimées,  en  pouces,  ou  en  centimètres  etc.  Ainsi,  pour 
éviter  ce  double  calcul,  il  sera  utile,  avant  de  calculer  la  va- 
leur du  rayon  ç,  d’ajouter  préalablement  à log  k la  constante 
log  ou  Çjx)  011  eil^n  log  (^r)’  (sel°n  (lue  nor* 
male  N a été  exprimée  en  toises,  ou  en  sajènes  russes, 
ou  en  mètres),  et  de  calculer  après  les  valeurs  des  rayons  q. 
Chaque  valeur  de  q ainsi  obtenue,  étant  mise  dans  la  for- 
mule (2),  donnera  a?  et  y,  exprimées  aussi  en  pouces  ou  en  cen- 
timètres. Le  calcul  du  rayon  ç par  la  formule  (5)  ne  présente 
aucune  difficulté  particulière,  si  l’on  a une  table  des  valeux’s 
de  log  log  u.  Il  est  aisé  de  voir,  que  la  différence  q' — q', 
entre  deux  ç consécutifs,  présente  la  distance  sur  la  carte 
entre  deux  parallèles,  ou  ce  qui  est  la  même  chose,  la  lon- 
gueur d’une  portion  de  l’arc  de  méridien. 
3)  Pour  tracer  cette  projection  il  n’est  pas  du  tout  néces- 
saire de  calculer  les  coordonnées  de  tous  les  points  d’inter- 
section des  méridiens  avec  les  parallèles,  comme  cela  doit 
se  faire  dans  la  projection  modifiée  de  Flamsteed;  car,  sur 
notre  projection,  on  représente  les  méridiens  par  les  lignes 
droites.  11  suffit  de  calculer  autant  de  coordonnées,  qu'on 
puisse  tracer  sur  chaque  feuille  de  papier  deux  parallèles, 
dont  l’un  soit  situé  à l’extrémite  septentrionale,  l’autre  à 
l’extrémité  méridionale.  Il  ne  restera  qu’à  subdiviser  les 
méridiens  en  prenant  successivement  sur  chacun  d’eux  des 
*)  Ces  mêmes  valeurs  de  a et  k , conviennent  le  mieux  de  toutes  pour 
la  carte  de  l’Empire  de  Russie;  car  quoique  toute  la  zone  entre  les 
deux  parallèles,  situés  sous  50°  et  60°  sera  raccourcie  sur  la  carte, 
cependant  comme  la  différence  entre  l’échelle  principale  et  le  mini- 
mum des  échelles  partielles  ne  sera  que  de  0.0038,  toute  cette  zone 
qui  est  la  plus  peuplée,  ne  subira  qu’une  altération  tout  à fait  insig- 
nifiante. 
