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Bulletin  physlco  - mathématique 
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2)  Nous  avons  vu  que  l’hypothèse  de  Bessel  sur  la  con- 
stitution de  l’atmosphère  satisfait  très  bien  aux  réfractions 
astronomiques,  même  dans  le  voisinage  de  l’horizon.  Comme 
les  réfractions  terrestres  ne  sont  qu’une  portion  des  réfractions 
astronomiques , correspondantes  aux  mêmes  distances  zéni- 
thales, il  m’a  paru  intéressant  d’examiner  si  cette  hypothèse 
convient  aussi  aux  réfractions  terrestres. 
Soil  C l’arc  géodésique  compris  entre  l’observateur  et 
l’objet  observé;  0 la  distance  zénithale  apparente  de  cet  ob- 
jet; 80  la  somme  des  deux  réfractions  terrestres  du  côté  de 
l’objet  et  du  côté  de  l’observateur,  ou  le  double  de  la  ré- 
fraction terrestre,  si  on  la  supposait  la  même  à l’un  et  l’autre 
• T n • £0 
de  ces  points.  La  traction  [i  = — est  ce  qu  on  nomme  le 
u C/ 
coefficient  de  la  réfraction  terrestre.  Pour  déterminer  fi,  pre- 
nons l’équation  différentielle  de  60,  donnée  par  Laplace 
dans  sa  Mécanique  céleste , T.  IV,  Liv.  X,  Chap.  11,  § MO. 
On  peut  l’écrire  de  la  manière  suivante: 
dôO 
(1  — s) 
ds 
• dv 
a est  ici  la  constante  qui  dépend  du  pouvoir  réfringeant 
et  de  la  densité  de  l’air;  s l’élévation  au-dessus  du  niveau 
de  l’observateur  pour  un  point  quelconque  pris  sur  la  courbe 
décrite  par  la  lumière  qui  vient  de  l’objet  à l’observateur; 
q la  densité  de  l’air  à cette  élévation;  q'  la  densité  de  l’air 
sur  le  lieu  d’observation;  v l’arc  géodésique  compris  entre 
le  point  mentionné  et  l’observateur. 
En  supposant  que  s soit  exprimé  en  parties  du  rayon  du 
globe  terrestre  et  prenant  Q = Q . e — ßs,  d'après  l’hypothèse 
de  Bessel,  on  aura: 
ddo  = 
aß.e  ßs  (1  — s) 
1 - 2a  (1  - e—ß 7)  dV> 
e étant  la  base  des  logarithmes  hyperboliques,  ß un  coeffi- 
cient égal  à 723,  quand  la  température  de  l’air  à la  sux’face 
de  la  terre  est  -t-  7,4-4-  degrés  de  Réaumur  et  la  hauteur 
du  baromètre  égale  à 29,6  pouces  anglais. 
Comme  pour  les  sommets  des  plus  hautes  montagnes  s 
s’élève  à peine  jusqu’à  0,001,  et  que  pour  les  autres  points  de 
la  courbe  décrite  par  la  lumière  s est  encore  plus  petit,  on 
peut  réduire  l’expression  précédente  de  ddO  en  série  con- 
vergente. On  a à très  peu-près: 
= aß[l  -ßs(\  _2a  + l)-i-Ç:(l  - 
nr  O ~ Uot  + })+ %r(4  ~ 30a"f~ 
6a  -+- 
±V 
ß) 
-V 
ßj 
etc...]. 
Pour  exprimer  s en  fonction  de  v,  remarquons  qu’un  point 
quelconque  intermédiaire  pris  sur  la  courbe  décrite  par  la 
lumière  , serait , s'il  était  visible  , observé  sous  la  même 
distance  apparente  au  zénith,  ô,  sous  laquelle  on  voit  l’ob- 
jet réellement  observé.  Ainsi  l’élévation  s , en  parties  du 
rayon  du  globe  terrestre,  d’un  point  dont  la  distance  géo- 
désique à l’observateur  est  donnée  par  l’angle  v,  peut  être 
approximativement  calculée  par  l’équation  : 
sinl".  sin  (90°  — 0 v - 0,08i>) 
S V ’ cos  (90°  — 0 -x—  v — 0,08v)  ’ 
en  supposant  que  v est  exprimé  en  secondes  ; 0,08  est  le 
coefficient  de  la  réfraction  terrestre,  moyen  entre  le  coeffi- 
cient 0,09  qui  convient , comme  nous  verons  plus  bas  , à 
de  très  petites  élévations  , et  le  coefficient  0,07  qui  con- 
vient aux  observations  des  plus  hautes  montagnes.  Faisant 
h — 90°  — 0 et  dévellopant  s en  séide  jusqu’aux  termes  du 
3me  ordre  des  quantités  sin  h et  sin  v,  qui  sont  toujours 
très  petites,  nous  aurons: 
s=u.sin2l//[A-i-0,42v-H— sin2l^(A3-*-2,76A*.u-i-2,16/rt>2-»-0,496t;3}]. 
3 
3)  Nous  avons  à présent  besoin  de  calculer  les  intégrales-. 
fs.dv-,  f s2  dv  ; fszdv  etc Dans  ces  intégrations  l’angle 
h doit  être  considéré  comme  constant,  et  les  limites  doivent 
être  prises  à v = 0 et  v — C,  ou  pour  l’arc  géodésique  com- 
pris entre  l’observateur  et  l’objet  observé.  On  aura  ainsi 
f sdv  = 
C2-Sm---  [A-h0,28C-h-1  sin2  1/\A3-4-1,84*2C-i-1,08*C2-x-0,199C3)]. 
2 3 
On  peut  exprimer  fs.dv  d’une  manière  plus  simple,  en 
remarquant  qu’on  a assez  exactement: 
fsdv  .==  [A2  -I-  0,28 C -t-  4 s’mH"  ( h *+•  0,6C)3]- 
D’un  autre  côté,  si  s0  est  l’élévation  totale  de  l’objet  ob- 
servé audessus  du  niveau  de  l’observateur,  on  aura  en  par- 
ties du  rayon  de  la  terre,  à très-peu  près: 
s0  = C . sin2 1 " [ h -t-  0,4-2  C -t-  4 sil'2 1 ''  (Â  0,84-  C)3]. 
En  nommant  s l’élévation  d’un  point  qui  serait  vu  sous 
la  même  distance  zénithale  apparente  0 , sous  laquelle  on 
voit  l’objet  observé,  mais  qui  ne  serait  éloigné  que  de  deux 
tiers  de  l’éloignement  de  cet  objet  à l’observateur,  on  ob- 
tiendra  s en  prenant  — C pour  C dans  la  formule  prece- 
O 
dente;  ainsi 
_2 
~3 
Donc  à fort  peu-près: 
s—  4 C . sin2 1"  [h  -h  0,28  C -t-  4 sin2 1"  (h  -+-  0,56C)3]. 
- , 3 > C 
fsdv  = — s ,T 
De  la  même  manière,  en  désignant  par  s,  s'  \ siy  etc.  . ■ 
les  élévations  des  points  qui  seraient  vus  sous  la  même 
m 
