Bulletin  pliysieo  « mathématique 
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Ifr  = E (A  cos  mp  -+-  B sin  mjj)  eaZP H-  E ( A ' co smp  (-  ß'  sin  mp)  e~azQ, 
rôip  = E (. A sin  mp  — B cos  mp)  eazV -+-  E (A*  sin  n'ip  — B ' cos  mp)  e ~~  azU, 
(ôr)  = E (C  cos  mp  -h  D sin  mp)  eazp  -+-  E (C'  cos  nip  l D sin  mp)  e ~ azq , 
r(ôip)  = E (C  sin  mp  — D cos  mp)  eazv  -t-  E [C'  sin  mp  — D cos  mp)  c — azu , 
dz  =E  (Ae+az—  A'e-aZ)(M-^^jcosmjj~i-E  [Beaz  — B'e~ C1Z)  (^M- 
Le  signe  de  sommation  se  rapporte  aux  constantes  arbi- 
traires A,  B,  C,  D,  A',  B,  C , D et  s’étend  à toutes  les  valeurs 
réelles  de  a , et  aussi  ù tous  les  nombres  entiers  n,  depuis 
n — 1 jusqu’à  n = co.  Pour  déterminer  les  fonctions 
P,  Q,  U,  V,  p,  q,  u,  v,  on  substitue  les  valeurs  précédentes 
dans  les  équations  du  problème,  et  si  l'on  pose 
T, 
P 
t, 
fi  \ . 
— J sin  mp. 
v — a — t , 
on  trouvera  que  T,  S,  /,  a sont  données  par  les  équations 
dro 
dr2 
P=S-pT, 
II 
en 
d2S  dS 
(n-t-1)2 
dr2  rdr 
d2T  dT 
| 
(n  — 1) 
dr 2 rdr 
r2 
da  /n  -+-  1\2 
— — ( ) a ■ 
rdr  \ r J 
d2t  dt  / n — 1\2 
dr 2 rdr  \ r / 
- a2  a = 0 , 
■ a2l  = 0, 
S-i-a2S  = — ah . r"  f T cos  [ar  cos  u)  sin2"«  cos  udu  = 
2 J0 
k (2 n — 1) . rcos  (ar  cos  u) . ( r sin2«)"  1 du  = 0. 
J n 
Sans  entrer  dans  les  détails  de  l’intégration,  il  est  facile  de 
vérifier  qu’on  satisfera  aux  équations  précédentes,  en  pre- 
nant 
d.8r 
dr 
8r  d.Sw  d8z  a 
-4-  — +~  — 1 
d(Sr)  ( 8r ) 
S = r"‘ 
4 
drp  d: 
d(8y>) Ad 
' “ T 
T=-'~4a2  r"  1 (2*7?  — arÇ)  — ^rn+lrj, 
dr  r dy 
et  comme  la  première  est  satisfaite  immédiatement  par  les 
valeurs  Ôr,  ôÿj,  ôz,  a,  en  observant  que  nous  avons 
a 
,rj — 1 
r%, 
dr-V=~ 
dr  . 'Ç  — a q 
2«  -+-  1 
C, 
* =îï=ï(2nrl-arQ 
désignant,  pour  abréger 
V = f cos  (ar  cos  u)  sin  . 2r‘ndu, 
Jo 
£ = f sin  (ar  cos  u)  sin  . 2"«  cos  udu. 
Jo 
En  même  temps  on  trouve 
Q — P , U=V,  q—p,  u = v. 
Les  fonctions  M et  ,u  satisferont  aux  équations 
dzM  d.M 
dr2  rdr 
<Pu 
dr  . (2 mj  — ar£)  = — a2rp, 
il  ne  nous  reste  que  de  détérminer  0 de  manière  à rendre 
identique  la  seconde  équation,  ce  que  nous  faisons,  en  prenant 
0=L/l(Ccosny-i-Dsinny)enz  .rnt]-i-LA(C  cosnyn-Z/sin  ny)e  az • rrtTj, 
où  X sera  détérminée  par  l’équation  suivante 
r fl  ^ AT 
; — M-t-a2M-+-ah . J cos  (ar  cos  u) . (rsu\hi)ndu—0, 
Le  cas  n = 0 n'étant  pas  compris  dans  l’analyse  précédente, 
il  faut  déterminer  séparément  les  valeurs  des  fonctions  P,  Q 
etc.  qui  s’y  rapportent.  Dans  ce  cas  les  équations  du  pro- 
blème se  réduisent  immédiatement  aux  suivantes 
(Pu  du 
U, 
(Pu 
JP 
dr 2 
dn 
rdr 
dr* 
dit 
rdr 
d 2 8r  d2 . 8r 
-t- 
r P ■+•  a2u  = 0 , 
r2  1 
dp 
dp 
d 8r  8r  .du  . 
— ; -H  * — = 0, 
rdr  r 2 dr 
el  par  conséquent  on  aura 
H = rn T],  r'<  (2 nr]  — art,), 
rt  et  (,  représentant  les  mêmes  intégrales  définies  comme  ci- 
dessus. 
Pour  satisfaire  maintenant  à la  sixième  équation  du  pro- 
blème, nous  partageons  cette  équation  en  deux  autres,  telles 
que 
d2  r8f  d2.r8t/i  d.r8f  8y 
d:2  dr2  rdr  r ’ 
d2.8z  d2.8z 
I 
d8z  , du 
7c  -—  = 0, 
rdr  d : 
= 0, 
dz2  ’ dr 2 
d*0  d2d  dd 
dz2  "+"  dr2  rdr 
d8r  8r  d8z  AO 
— H 1 = 0-+-  —• 
dr  r dz  k 
Il  est  aisé  de  voir  qu’on  satisfera  à ces  équations,  en  prenant 
