153 
de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg 
durch  Rechnung,  durch  Messung. 
o :o=  122050'....122°50V 
o :P=  10G°54' 106°53f' 
o.M=  154°29'...  .154°29i' 
M-.M=  120°45'.  ..120°44±' 
M P=  98°38/. . . . 98°38  ' 
MtA  = 119038'....119°37i/ 
t : P = 114°29' 
t-.h  = 155°3l' 
Man  sieht,  dass  die  berechneten  Winkel  mit  denen  durch 
unmittelbare  Messungen  erhaltenen  ganz  und  gar  überein- 
stimmen4). Merkwürdig  ist  es,  dass  man  für  das  Hauptprisma 
des  Glimmers  vom  Vesuv  gerade  die  Winkel  120°(/  und  60°0 
erhält.  Dieses  ist  der  Grund,  woher  in  den  Combinationen,  wo 
die  Flächen  h und  t eintrelen,  das  basische  Pinakoid  P (Spal- 
lungsfläche)  ein  regelmässiges  Sechseck  bildet. 
Die  Zusammensetzungsfläche  der  Zwillings  -Krystalle  des 
Glimmers  vom  Vesuv  ist  die  Fläche  ccP  und  die  Individuen 
sind  unter  sich  wie  im  Aragonit  vereinigt,  so  dass  man  öfters 
Drillingen  begegnet.  Die  Spaltungsfläche  dieser  Drillinge  bildet 
ebenfalls  ein  regelmässiges  Sechseck. 
4)  Gustav  Rose  hat,  nach  seinen  31essungen,  im  Glimmer  vom 
Vesuv  erhalten:  1U:  h = 1 19°37/',  M:  M = 120°46',  M:P  = 98°40' 
(Poggendorff’s  Ann.  1844.  B.  61,  S.  383). 
Brooke  und  .Miller,  nach  den  Messungen  von  Philipps,  geben  für 
dasselbe  Mineral  folgende  Werthe:  M : 6 = 119°37',  M:  M=  120°46', 
BI:  P = 98°40/,  o : h = 118°33/  und  o : P = 107°5/  (An  Elementary 
introduction  to  Mineralogy.  London,  1852.  S.  389). 
N © T 33  3. 
3.  Sur  le  maximum  du  nombre  des  positions 
d’équilibre  d’un  prisme  triangulaire,  ho- 
mogène, PLONGÉ  DANS  UN  FLUIDE;  PAR  LE  PRO- 
FESSEUR DAVIDOF  À Moscou.  (Lu  le  4 août 
1854.) 
Dans  une  note  insérée  dans  le  Bulletin  de  V Académie  des 
Sciences  de  St.-Pélersbourg  T.  1.  p.  346,  1852,  M.  l’Académi- 
cien Bouniakowsky  a le  premier  démontré  que  le  maxi- 
mum du  nombre  des  positions  d’équilibre  d’un  prisme  trian- 
gulaire, homogène,  plongé  dans  un  fluide,  ne  peut  jamais  aller 
au  delà  de  15.  Dans  cette  note  je  me  propose  de  prouver 
que  le  maximum  du  nombre  des  positions  d’équilibre  ne  peut 
jamais  surpasser  12. 
Soit  ABC  la  section  perpendiculaire  aux  arêtes  du  prisme 
flottant,  et  E le  milieu  du  côté  AB-,  faisons: 
154 
CB  = a-,  AC  = b;  AB  = c;  EC=h;  ACE  = ß-,  ECB  — a-, 
CK  — x ; CL  — XJ, 
et  désignons  par  q le  rapport  de  la  densité  du  corps  flot- 
tant à celle  du  liquide;  les  valeurs  de  x et  xj  seront  don- 
nées par  les  équations  suivantes*): 
xi  — 2 h cos  a. x3-t~2 qh  co sß  .ab.x  — q2a2b 2 = 0;  x.y=qab , 
et  devront,  outre  cela,  satisfaire  aux  conditions  x <(  a et 
ÿ O,  ou  bien  x<^.a  et  x"ß>qa. 
Introduisons  au  lieu  de  h,  a et  ß les  trois  côtés  a,  b et 
c du  triangle  ABC.  A cet  effet , remarquons  que  le  point  E 
étant  le  milieu  de  AB,  on  a 
/ i t i <M-6cos(a-4-,3) 
a — h cos  a= h cos  a — b cos(a-t-p),  ou  hcosa  = ; 
, , „ , o r a\  i .a  6-t-acos(«-+-/3) 
b — hcosß  — hcosß — a cos  (cc-t-ß),  ou  hcosß— ~ ; 
M 
a2  _4_  J2 c2 
mais  cos  (a-t-ß)  = — ; , donc 
h cos  a ; 
2 ab 
3 „2  _4_  _ c2  az 
- , h cos  ß = — 
362  - c2 
4a 
46 
En  substituant  ces  valeurs,  on  trouve 
3 a2  -t-  62  — c2 
2a 
■ r 
— (a2-{-3b2 — c2)x — q2a2b2=  0.  (I) 
Si  l’on  suppose  les  deux  sommets  opposés  immergés,  on 
n’aura  qu’à  changer  q en  1 — q dans  l’équation  précédente, 
ce  qui  donne 
*4  _ 3a»-n6»-c* # ^ ^ ILZP)“ (a2+3à2- c2)x- ( 1 - q)W 
2 a 2 
= 0,  (II) 
et  outre  cela  les  conditions  x <(  a et  #>(1 — q)  a. 
Les  équations  (I)  et  (II)  ont  chacune  une  racine  négative 
qui  est  étrangère  à la  question;  les  trois  autres  racines  de 
chacune  de  ces  équations,  si  elles  sont  réelles,  devront  être 
positives,  comme  le  fait  voir  la  règle  de  Descartes.  Si 
les  trois  racines  de  l’équation  (I)  sont  réelles,  et  convien- 
nent à la  question  , on  aura  en  substituant  x = qa  dans 
*)  Note  par  M.  Bouniakowsky;  Bulletin  1852,  T.  1,  p.  347. 
Traité  de  Mécanique;  Poisson,  T.  II,  p.  583. 
