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ES  ei  Biol  in  physieo  - mathématique 
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l'équation  (I)  un  résultat  négatif,  et  pour  x = a un  résultat 
positif,  ce  qui  conduit  à ces  deux  conditions 
C2  -t-  62  _ a2  _ C2  -+-  62 
Q> 
Q> 
(1) 
'■la2  ' ' " 262 
De  même,  si  le  côté  c étant  immergé,  le  prisme  a trois 
positions  d’équilibre,  l'équation  (II)  donnera  un  résultat  né- 
gatif pour  x = (1  — ç)a  et  un  résultat  positif  pour  x — a-, 
nous  aurons  donc  les  conditions 
?<• 
62 
2a2  ’ x ^ 262 
que  l'on  pourra  déduire  des  conditions  (1)  en  y changeant 
ç en  1 — q. 
Les  quatre  conditions  (1)  et  (2)  prouvent  que  l’angle  C 
et  le  côté  c ne  pourront  avoir  chacun  trois  positions  d’équi- 
libre, que  lorsque  a<^c  et  b<^c,  c’est-à-dire  que  lorsque 
le  côté  c sera  le  plus  grand,  d’où  l’on  peut  déjà  conclure, 
que  1S  positions  d'équilibre  ne  peuvent  pas  avoir  lieu. 
Mais  il  est  facile  à démontrer  que  le  maximum  du  nombre 
de  ces  positions  ne  peut  pas  surpasser  12.  A cet  effet,  re- 
marquons que  si  l’on  change  dans  (1)  ou  (2)  un  des  signes 
d'inégalité  en  signe  contraire,  et  qu’on  fasse  par  exemple 
ç< 
62- 
— «2 
(3) 
Ç> 
•/2  _ c2  . 
• 62 
et  <?  < 
72  _ ,.2  . 
62 
2a2  — V 9 62 
alors  l'angle  C ne  peut  avoir  plus  de  deux  positions  d’équi- 
libre, puisque  ce  sont  les  conditions  pour  que  l’équation  (I) 
donne  pour  x = ç«  et  x = a des  résultats  de  mêmes  signes. 
De  même,  si  l’on  change  les  deux  signes  dans  les  conditions 
! et  2,,  on  réduit  par  là  le  maximum  du  nombre  des  po- 
sitions d’équilibre  pour  l'angle  C à une,  parce  que  ce  sont 
les  conditions,  pour  que  x = Qa  donne  un  résultat  positif 
et  x = a un  résultat  négatif.  Ainsi,  autant  de  signes  d’iné- 
galité qu’on  changera  dans  les  conditions  (1)  et  (2),  d’au- 
tant le  maximum  du  nombre  des  positions  pour  l’angle  C 
et  le  côté  c sera  plus  petit  que  6. 
La  même  chose  a lieu  si  l’on  change  une  ou  plusieurs 
des  inégalités  en  égalités:  le  nombre  des  positions,  qui  dis- 
paraissent sera  égal  au  nombre  de  ces  changements.  En 
effet. 
si  l'on  change  une  des  inégalités  (1)  ou  (2) 
ülé,  cela  veut  dire  que  x = a,  ou  x=qa,  ou  bien  x={\  — q)a 
satisfait  à l’équation  (I)  ou  (II),  ou  que  la  ligne  de  flottai- 
son passe  par  le  point  A ou  B.  Dans  ces  cas  deux  positions 
d équilibre  se  confondent  en  une  seule.  Si  c’est  par  exemple 
le  point  B,  par  lequel  passe  la  ligne  de  flottaison,  cette  ligne 
determine  une  position  d'équilibre  pour  l’angle  C,  laquelle 
se  confond  avec  une  position  d'équilibre  du  côté  a;  il  y a 
donc  perle  d'une  position  d équilibre. 
Ola  posé,  changeons  dans  (1)  et  (2)  c en  a,  et  récipro- 
quement: les  conditions  nécessaires  pour  que  l’angle  A et 
le  côté  a aient  chacun  trois  positions  d’équilibre,  seront 
<?> 
Q < 
C*  -4-  62  — a2 
2c2 
C2  — 62  H 
> Q> 
■62 
2c2 
a2  . a2 
» Q <- 
262 
y-  62  — c2 
262 
(3) 
(4) 
Enfin,  changeant  dans  (1)  et  (2)  c en  b,  et  réciproque- 
ment, on  trouve  les  conditions  nécessaires,  pour  que  le 
sommet  B et  le  côté  b aient  chacun  trois  positions  d’équi- 
libre : 
a2  — b2  -t-c2  a2  — 62  -t-  c2 
Ç > «a2  7 ’ ^ ^ 2c2  (î) 
a2  -+-  b2  — c2  c2  -4—  b2  — a2 
Q < 2a2  ’ ? ^ 2c2  ' <6) 
Si  les  12  conditions  (1),  (2),  (3),  (4),  (5)  et  (6)  ne  renfer- 
maient rien  de  contradictoire  , on  n’en  pourrait  pas  con- 
clure , que  le  nombre  des  positions  d’équibre  doit  être 
moindre  que  18.  Mais  comme  G de  ces  inégalités  contredi- 
sent les  six  autres,  on  ne  pourra  les  concilier,  et  déduire 
les  conditions  pour  chaque  sommet  et  chaque  côté,  qu’en 
changeant  6 inégalités  en  inégalités  contraires  ou  en  équa- 
tions , ce  qui  diminue  le  nombre  maximum  des  positions 
d’équilibre  de  6,  de  sorte  que  ce  nombre  ne  peut  pas  sur- 
passer 12. 
4.  Einige  Bemerkungen  über  Epilobium  Dodonaei 
und  die  ver  wandten  Arten.  Von  C.  A.  MEYER. 
(Lu  le  1 septembre  1854.) 
ln  der  Flora  1854  No.  3 u.  No.  19  finden  sich  weitere  Er- 
örterungen über  Epilobium  denliculatum  Wender,  und  E.  cras- 
sifolium  Lehm.  Da  es  sich  hier  zugleich  um  eine  wahrschein- 
lich russische  Pflanze  handelt,  so  wird  es  mir  wol  vergönnt 
sein  hier  meine  Bemerkungen  mitzutheilen. 
Von  E.  denliculatum  Wender,  habe  ich  Originalexemplare 
in  Schrader’s  Herbarium  (jetzt  im  Besitz  des  Kaiserlichen 
botanischen  Gartens  hierselbst)  zu  untersuchen  Gelegenheit 
gehabt.  Von  E.  crassifolium  sind  mir  keine  Originalexemplare 
vorgekomraen ; allein  Ledebour  sagt  in  seiner  Flora  rossica 
II.  p.  10G  unter  E.  Dodonaei  «E.  crassifolium  Lehm.,  fuie  speci- 
minum  ab  amiciss.  auclore  benevole  mecum  commimicalorum , non 
di  ff  erre  video» . Da  jedoch  Ledebour  für  die  kaukasische 
Pflanze,  von  welcher  nach  seinen  Beobachtungen  das  E.  cras- 
sifolium Lehm,  nicht  verschieden  sein  soll,  Koch’s  Diagnose 
von  E.  Dodonaei  « stylo  stamina  aequante » beibehalten  hat  (was 
auch  mit  der  Natur  ganz  übereinstimmt),  so  lässt  sich  wol 
voraussetzen,  dass  E.  crassifolium  mit  dem  E.  denliculatum 
Wender.  — E.  Fleischen  Höchst.,  Koch.,  welches  einen  kurzen 
Griffel  hat,  nicht  identisch  sein  kann  Lehmann  gibt  Sibirien 
als  das  Vaterland  seiner  Pflanze  an.  Es  wächst  aber  in  Sibi- 
rien, selbst  im  weitesten  Sinne  genommen,  keine  dem  E.  Do - 
donaei  ähnliche  Art,  denn  E.  latifolium  ist  durch  seine  Blatt- 
form weit  verschieden;  wol  aber  findet  sich  im  Kaukasus  das 
E.  angustissimum  M.  B. , welches  Ledebour  am  angeführten 
Orte  für  E.  Dodonaei  bestimmt  hat.  Mag  nun  die  kaukasische 
Pflanze  blos  eine  Abänderung  des  E.  Dodonaei  oder  eine  selbst-  , 
ständige  Art  sein,  was  ich  für  wahrscheinlicher  halte,  so  viel 
ist  gewiss,  dass  sie  sich  durch  die  Blätter  auszeichnet,  die  am 
Bande  sehr  reichlich  drüsenartig  gezähnt  sind,  während  das 
