237 
«le  l'Académie  de  §ain(>Pétersbour^. 
J.  . X 
K — 2tt  A2  gV  I — m = 2ttAzp  . 
I 
Für  die  Erdbahn  ist .4=1  und  — oben  befunden. 
m ° 
» » specifische  miltl.  sid.  Be.  p = 0,00273780300045. 
1 
» Reduktion  durch  — m — 385944. 
« absolute  mittlere  sid.  Be.  ^ = 0,00273779914701. 
Multiplicirt  mit  2x K = 0,0172020993745. 
Gauss,  lheoria  mot R = 0,01720209895. 
Zur  Veranschaulichung  dient  die  Gleichung  R 2 = AV2. 
Fist  der  Bogen,  welchen  der  Planet  in  einem  mittlern  Son- 
nentage mit  seiner  absoluten  mittlern  sidei’ischen  Bewegung 
in  einem  Kreise  beschreibt,  dessen  Halbmesser  = .4. 
ATOMii4es*  Artikel. 
Der  Newtou’sche  Satz,  die  projektive  Methode 
in  der  Ebene,  und  der  Krümmungskreis  des  Ke- 
gelschnitts. 
In  Grelle  Zeitschrift  für  Mathematik  etc.  1846.  Bd.  31.  II. 
174,  giebt  Möbius  einen  Beweis  des  Newton’schen  Salzes 
durch  Ablothung  des  Kreises  auf  eine  Ebene.  Dieser  Beweis 
erinnerte  mich  an  einen  Aufsatz  aus  dem  Anfänge  meines 
mathematischen  Lehramts  vor  etwa  40  Jahren,  worin  ich  auf 
ähnliche  Weise  sämmtliche  Eigenschaften  der  Ellipse  aus  be- 
kannten Sätzen  des  Kreises  ableitete,  indem  ich  beide  als  ei- 
nem Cylinder  angehörig  annahm. 
So  einfach  diese  Herleitung  auch  ist,  und  so  elegant  sie 
mitunter  ausfällt,  wie  der  erwähnte  Beweis  von  Möbius 
zeigt,  so  genügt  sie  doch  nicht,  erstlich  weil  sie  nur  auf  die 
Ellipse,  nicht  auf  die  beiden  andern  Kegelschnitte  anzu wen- 
den ist,  dann  auch  weil  sie  Sätze  der  Ebene  aus  einer  Raum- 
betrachtung entwickelt,  statt  umgekehrt. 
Bei  der  Untersuchung  der  Kegelschnitte  ist  die  projektive 
Methode,  in  der  Ebene,  der  gew/öhnlichen  halb  konstruirenden, 
halb  algebraischen  oder  trigonometrischen  Behandlung  wis- 
senschaftlich entschieden  überlegen.  Die  projektive  Geometrie 
beseitigt  die  Anwendung  der  Verhältnisse  und  Gleichungen, 
vermeidet  überhaupt  die  rechnende  Darstellung,  und  gründet 
ihre  Schlüsse  nur  auf  die  Durchschnitte  grader  Linien.  Da 
die  Kegelschnitte  eben  sowohl  in  eine  grade  Linie  wie  in  ei- 
nen Punkt  übergehen  können,  und  der  Punkt  als  Pol  einer 
graden  Linie  angesehen  wird,  so  hat  jeder  Satz  der  projekti- 
ven Geometrie  einen  polaren  Gegensatz,  welcher  ausgespro- 
chen wird  durch  Umnennung  der  graden  Linien  in  Punkte, 
der  Punkte  in  grade  Linien,  der  Ecken  einer  dem  Kegelschnitt 
eingeschriebenen  Figur  in  Seiten  einer  umschriebenen,  und 
der  Seiten  der  umschriebenen  in  Ecken  einer  eingeschrie- 
benen. 
238 
Jeder  einfach  auf  grade  Linien  und  Punkte  bezogene  Satz 
der  ebenen  projektiven  Geometrie  entspricht  einem  Satz  der 
Kegelschnitte,  der  durch  den  Schluss  vom  Besondern  auf  das 
Allgemeine  sich  aulfinden  lässt. 
Diese  Methode,  welche  ich  in  der  Bildlehre,  Mitau  und  Leip- 
zig 1846,  vollständiger  entwickelt  habe,  ist  bei  geometrischen 
Untersuchungen  noch  w'enig  in  Gebrauch  gekommen.  Es  sei 
daher  erlaubt,  sie  beispielsweise  auf  den  Newton’schen  Gra- 
vitalionssatz  und  die  Bestimmung  des  Krümmungshalbmes- 
sers eines  Kegelschnitts  anzuwenden. 
Erläuterung  zu  Sew  ton’s  Beweis. 
(Fig.  1.)  Der  Planet  durchlaufe  in  irgend  einer  krummen 
Linie  in  gleichen  Zeiten  die  Bögen  pp  und  pp".  Die  beliebig 
gezogenen  Linien  pm  und  pf  schneiden  die  Sehne  pp"  in  x 
und  g.  Die  Bewegung  pp'  wird  hervorgebracht  entweder  durch 
die  Bewegungen  px  und  x p'  oder  durch  die  Bewegungen  pg 
und  yp  . 
Je  kleiner  die  Zeit  ist,  desto  genauer  ist  die  Sehne  p'p"  der 
in  p gezogenen  Berührungslinie  parallel,  und  desto  mehr  nä- 
hert sich  das  Verhältniss  p x ■■  p'y  dem  der  Gleichheit.  Diese 
Linien  sind  zuletzt  der  Bahngeschwindigkeit  V gleich. 
Die  krummlinige  Bew  egung  wird  also  hervorgebracht  durch 
Zusammenwirken  der  Geschwindigkeit  V entweder  mit  einem 
nach  m gerichteten  Fall  px,  oder  mit  einem  nach  f gerichte- 
teten  Fall  py.  Die  Linie  xy  ist  der  berührenden  in  p parallel. 
Die  Kraft  wird  durch  den  doppelten  Fall  in  der  Zeiteinheit 
bezeichnet,  also  durch  2 px  oder  2 py. 
Man  beschreibt  um  die  drei  Oerter  ppp'  einen  Kreis  n, 
welcher  von  der  Linie  pf  in  p geschnitten  wird,  so  ist 
nt  r n 
py -p  y=p y -v  y- 
Wenn  zuletzt  die  Oerter  ppp " einander  unendlich  nahe  lie- 
gen, so  ist  n der  Mittelpunkt  des  Krümmungskreises,  nt  das 
zur  Sehnepp  gezogene  Loth  und 
2 py  . pt  = V 2 
oder  wenn  G=2py  die  nach  f gerichtete  Gravitation  ist,  so  ist 
G.pt=V2. 
V cnlo n’s  Bewein. 
Diesen  durch  die  vorstehende  Einleitung  erläuterten  Be- 
weis giebt  Newton  in  dem  berühmten  Ilten  Salz  der  Pr  in  - 
dp.  Ph.  N.  vom  8.  Mai  1686,  gegründet  auf  die  von  Kepler 
am  15.  Mai  Di  18  entdeckten  Gesetze  der  Planetenbewegung. 
(Fig.  2.)  Die  Bahn  ist  ein  Kegelschnitt,  dessen  grössere 
Halbaxe  = A,  halber  Parameter  =P,  Mittelpunkt  m,  Brenn- 
punkt f.  Die  Berührende  in  p ist  ph,  mb  und  fg  sind  senk- 
recht auf  ph,  mg  " parallel  zu  fp,  der  dem  Halbmesser  mp  zu- 
geordnete Halbmesser  mg  ist  parallel  zu  ph,  der  Halbmesser 
m.T  = mp,  die  Abschnitte  bg  ' = lg  , mg  = mg  = .4, 
p x = p x, 
