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ISullctiii  physico  - mathématique 
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Soient  Ox,  Oy , Oz  trois  axes  fixes  rectangulaires,  dont  l’o- 
rigine est  le  point  fixe  0,  autour  duquel  le  corps  doit  tourner, 
et  qui  est  situé  sur  celui  des  axes  principaux,  qui  sert  d’axe 
de  révolution  à l’ellipsoïde  central2).  Pour  abréger  le  dis- 
cours. nous  nommerons  cet  axe  dans  la  suite  axe  de  figure. 
Supposons  de  plus  que  l’axe  Oz  est  vertical  et  dirigé  dans  le 
sens  de  la  pesanteur.  Soit  encore  Oz  l’axe  de  figure,  dirigé  du 
cété  où  se  trouve  le  centre  de  gravité,  et  Ox,  Og  deux  autres 
axes  perpendiculaires  A Oz  . La  position  du  corps  à un  in- 
stant qm  Iconque  est  déterminée  ordinairement  par  trois  an- 
gles, au  moven  desquels  on  peut  fixer  la  position  des  axes 
Ox'  Oy,  Oz'  par  rapport  à Ox,  Oy,  Oz.  Ces  angles  sont; 
1 z()z'  = 0 qui  mesure  l’inclinaison  du  plan  x Oy  à xOy, 
2 N Ox  = ip  compris  entre  l’intersection  ON  de  ces  deux 
plans  et  l’axe  Ox  et  3)  x'ON=ep. 
Désignant  par  I le  temps,  les  différentielles  de  ces  angles: 
il  . dip,  dep  par  rapport  à t seront  les  trois  déplacements  in- 
stantanés qui  produisent  simultanément  le  déplacement  an- 
gulaire effectif  pendant  l'élément  du  temps  dl.  Donc,  si  l’on 
représente  les  valeurs:  dO,  dip,  dep  par  des  longueurs  portées 
sur  leurs  axes  respectifs:  ON,  Oz,  Oz',  et  que  l'on  trouve  la 
résultante  par  la  règle  du  parallélogramme,  la  direction  de 
celle  résultante  sera  l axe  instantané,  et  sa  longueur,  la  va- 
leur du  déplacement  angulaire  instantané.  Les  projections  de 
cette  même  résultante  sur  les  axes:  Ox,  Oy,  Oz  représente- 
ront respectivement  les  valeurs  des  déplacements  instantanés 
autour  de  ces  axes.  On  désigné  ordinairement  ces  déplace- 
ments par: 
pdl , qdt,  rdt. 
La  somme  de  leurs  projections  sur  un  axe  quelconque  doit 
être  égale  A la  somme  des  projections  de  dO,  dip,  dep  sur  ce 
même  axe.  Ainsi  : rdl  est  la  somme  des  projections  de 
d i.  dip.  dep  sur  Oz  ; mais  dO  dont  la  direction  ON  est  perpen- 
diculaire A Oz  donne  une  projection  nulle;  la  projection  de 
clip  sera  co sOdip,  et  celle  de  dep  ne  diffère  pas  de  l’élément 
projeté;  par  conséquent 
mouvement.  Les  deux  autres  sont  données  par  le  principe  des 
moments  linéaires,  appliqué  aux  quantités  de  mouvement,  et 
par  le  principe  des  forces  vives. 
Abstraction  faite  de  la  pesanteur,  le  moment  linéaire  prin- 
cipal des  quantités  de  mouvement,  en  vertu  du  principe  des 
aires,  serait  constant  en  grandeur  et  en  direction;  sa  pro- 
jection sur  Oz,  que  nous  désignerons  par  l,  serait  aussi  con- 
stante. Mais  si  l’on  tient  compte  de  la  pesanteur,  cette  force 
introduira  à chaque  instant  un  moment  linéaire  dont  l’axe  est 
situé  dans  le  plan  xOy,  perpendiculaire  A Oz,  et  dont  la  pro- 
jection sur  Oz  sera  nulle.  Par  conséquent  la  pesanteur  ne 
change  pas  la  projection  sur  Oz  du  moment  principal;  cette 
projection  restera  donc  égale  à l. 
Pour  trouver  l’expression  de  cette  valeur  en  fonction  des 
angles  6,  ep,  ip,  décomposons  le  moment  principal  en  trois 
autres,  dirigés  suivant  Oz',  ON  et  une  droite  OP  perpendicu- 
laire à ON,  et  située  dans  le  plan  x Oy';  prenons  la  somme 
des  projections  sur  Oz  des  composantes  ainsi  obtenues.  La 
composante  suivant  ON  étant  perpendiculaire  à Oz,  donne 
une  projection  nulle.  Ainsi  l est  égale  A la  somme  des  pro- 
jections sur  Oz  des  composantes  dirigées  suivant  Oz  et  OP. 
Or,  ces  composantes  sont  égales  respectivement  aux  compo- 
santes suivant  ces  mêmes  axes  de  la  vitesse  angulaire  instan- 
tanée, multipliées  par  les  moments  d’inertie  relatifs  à ces 
axes.  Les  composantes  de  la  vitesse  angulaire  suivant:  ON, 
Oz  et  Oz  étant  respectivement 
dd  dep  d-p 
dt  ’ dt  ’ dt  ’ 
et  les  deux  premières  étant  perpendiculaires  à OP,  la  com- 
posante de  la  vitesse  angulaire  suivant  OP  sera  égale  seule- 
ment à la  projection  de  sur  cette  droite,  savoir:  --  sin  0. 
1 J dt  dt 
Désignant  par  A le  moment  d’inertie  relatif  à OP,  qui  est  le 
même  pour  chaque  droite  perpendiculaire  à Oz-,  on  aura 
A sin  0 — 
dt 
rdl  = cos  0 . dip  - f-  dep. 
Leite  valeur  divisée  par  dl  est  la  vitesse  de  rotation  instanta- 
née autour  de  Oz  . Dans  le  cas  présent  elle  est  constante, 
parce  que  la  vitesse  angulaire  imprimée  au  corps  à chaque 
inxtanl  par  la  pesanteur,  ayant  pour  axe  de  rotation  la  droite 
OA  perpendiculaire.  A Oz',  n’influe  nullement  sur  la  rotation 
autour  de  Oz  . Donc,  si  l’on  désigne  par  n la  valeur  initiale 
de  la  vitesse  de  rotation  autour  de  cet  axe,  on  aura  à chaque 
instant  r = n , ou 
n dip  dip 
n — cos  IJ  . — H 
(U 
dt 
(1) 
1 e-l  une  des  trois  premières  intégrales  des  équations  du 
- L.-a  d.  a I ellipsoïde  dont  les  rayons  vecteurs  menés  du  centre 
sont  en  rai«on  inverse  des  racines  carrées  des  moments  d’inertie,  rela- 
tifs i ce»  rayons  pris  pour  axes  de  rotation. 
pour  la  composante  du  moment  linéaire  principal  suivant 
OP,  et  sa  projection  sur  Oz  sera 
A sin  20  — * 
dt 
Si  l’on  désigne  par  C le  moment  d’inertie  relatif  à Oz'  on 
aura  Cn  pour  la  composante  du  moment  linéaire  principal 
suivant  Oz',  et  sa  projection  sur  Oz  sera  Cn  cos  6.  Donc 
A sin 2 0 — -+-  Cn  cos  0 = 1 (£) 
dt 
Les  carrés  des  composantes  suivant  OP,  ON,  Oz  de  la  vi- 
tesse angulaire,  multipliées  par  les  moments  d’inertie  relatifs 
à ces  axes,  donneront  pour  somme  la  force  vive  du  corps,  qui 
doit  être  égale  à la  force  vive  de  la  masse  réunie  au  centre 
de  gravité.  La  première  de  ces  valeurs  est 
A[s'n'°^î) 
