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de  l’Académie  de  Saint  - Pétersbourg. 
US 
et  la  seconde  peut  être  exprimée  par  2Mgycos6  plus  une 
constante  -,M  désignant  la  niasse  totale  du  corps,  y la  distance 
du  centre  de  gravité  à l’orgine  0,  et  g la  gravité.  Ainsi  en 
peut  poser 
(dy\2  /dO\2~ 
dt  ) \dt  ) 
j^sir 
A sin2Ö 
5 \ 2~i 
r)  J=2i%(cos0-f-A),..<8) 
h étant  une  contante.  On  déterminera  les  constantes  l et  h au 
moyen  des  valeurs  initiales  de  l’angle  Ö et  des  composantes 
de  la  vitesse  angulaire  instantanée  : 
df  dO 
dt  ’ dt 
Désignant  re- 
spectivement ces  valeurs  initiales  par  a,  A,  /u,  on  aura,  pour 
déterminer  / et  A,  en  vertu  des  équations  (2)  et  (3): 
AX  sin2a  -h  Cn  cos  a = l \ 
(4) 
A (A2sin2cc  -+-  ft2)  — 2 Mgy  (cos  a -t-  A)  J 
3)  L’élimination  de  ^ des  équations  (2)  et  (3)  donne  l’é- 
quation suivante  entre  0 et  t-. 
• dd\  % Mgy 
sin-0  --  = — - cos 
\dl  A ' 
■ h)  sin20  — 
(l  — Cn  cos  0)2 
l2 
laquelle  en  posant  pour  abréger  cos  d — z,  devient 
(<lz  \ 2 2 AMgy  (z  -+-  h)  ( 1 — z2)  — [l  — Cwz)2 
[dîj  — 4^ 
Les  trois  racines  du  second  membre  de  cette  équation,  con- 
sidérées comme  fonction  de  z,  sont  réelles.  En  effet  en  sub- 
stituant, dans  ce  membre,  au  lieu  de  z successivement: 
— oo,  — 1 , cos  a,  h-  1 , 
on  trouve  des  résultats  de  signes  qui  suivent: 
ce  qui  prouve  non  seulement  la  réalité  des  racines,  mais,  fait 
voir  aussi  que  la  fonction  que  nous  examinons  a une  racine  né- 
gative dont  la  valeur  numérique  est  1 et  deux  racines  dont 
les  valeurs  numériques  sont  <C  t , une  étant  comprise  entre 
les  limites.  — 1 et  cos  a et  l’autre  entre  cos  a et  -t-  1 3).  Dé- 
signant ces  racines  suivant  l’ordre  de  leur  grandeurs  par: 
— c,  b,  a,  on  aura 
(J)  =~-{a  — z)[z  — b){z-i~c) (.’>) 
La  valeur  numérique  de  z = cos  d ne  pouvant  surpasser  1,  le 
facteur  z -t-  c restera  toujours  positif;  donc  pour  que 
soit  positif,  la  valeur  de  z doit  être  comprise  entre  les  limites: 
a et  b.  Pour  asujettir  z à cette  condition  posons 
Z=a  cos2co-l-A  sin2w=a — (a  — b)  sin2«  = b-\-[a  — b)  cos2«, 
3)  Dans  des  cas  particuliers,  cos  a,  -t-  1,  — 1 sont  au  nombre  des 
racines. 
désignant  par  co  un  angle  réel.  Si  l’on  fait  de  plus 
a — b r d(J 
= k2 , u — J 
Y 1 /.2sin2o 
on  aura 
co  = am  (u) , 
z = a co s2am  (u)  -t-  b si n2am  (u) , 
a — 2=(«  + c)  A2sin2am  (w),  z — b = (a-t-c)  k2cos2am  ( u ) , 
z -t-  c = (a  H-  c)  ( 1 — A2sin2am  u)  = [a  -+-  c)  A2 am  ( u ) 
— = — 2 fa  -t-  c)  /c2sin  am  (m)  cos  am  lu)  A am  lu)  d l > 
dt  ' ' dt 
ce  qui  étant  substitué  dans  l’équation  (5)  donne 
(du  * 
24 
a 
Posant  pour  abréger 
on  aura 
d’où  l’on  tire 
-j  /Mgy 
(a-t-c) 
24 
du  — rfc  pdt 
u = ± p (t  -t-  r) , 
P 
désignant  par  r une  constante  arbitraire.  Substituant  cette 
valeur  de  u dans  l'expression  de  î = cos  0,  on  trouve 
cos  d = a co s2amp  (t  + r)  + i si n 2 amp  ( t -t-  r). 
On  voit  par  cette  formule  que  cos  0 est  une  fonction  pério- 
dique de  t.  Pour  t = 0on  doit  avoir  cos  0 = cos  a;  donc 
cos  a=a  co s2am  (pr)-t-A  sin2am  {pr)=  a — (a  — b)  sin2am  (pr)  ; 
d’où  l’on  tire 
sin  am  (pr) 
i/a  — cos  a 
= =tzY 
a — b 
Désignant  par  «()  le  plus  petit  arc  qui  a pour  sinus  cette  va- 
leur, on  peut  poser 
"o  do 
‘ Jn  Yi  — A2sin2cj 
Le  signe  de  cette  valeur  dépend  du  signe  de  la  constante 
«.  En  effet,  si  l’on  fait  t=o,  ~ = p et  a = 6 dans  la  diflfé- 
1 dt 
rentielle  de 
cos  6 = a — (a  — b)  sin2amp  [t  -t-  r) , 
on  trouve 
ci  sin  a = 2 (a  — b)  sin  am  (pr)  cos  am  (pr)  Aam  (pr)  .p  . . . . (O) 
L’angle  a ne  pouvant  surpasser  180°,  sin  a sera  toujours 
positif  s’il  n’est  pas  nul;  par  conséquant  le  signe  du  premier 
membre  dépendra  de  fi,  et  le  signe  du  second  membre  de 
sin  am  (pr),  parce  que  la  valeur  numérique  de  pr  ne  surpas- 
sant pas  un  argument  complet 
rt 
2 do 
K=f  7 
Jn  Jo 
