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de  l’ Académie  de  Saint  - Pétersbourg\ 
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A am  (vi  h-  K)  = ~)/  ' & > 
1+a 
cot  am 
(vi  -+-  R)  = — iV  -• 
La  première  des  intégrales  de  la  formule  (7),  peut  être 
présentée  sous  la  forme 
e VL 
1 a -+-  1 (a 
-./d-mtc-l) 
1 (a  + c)(l+o) 
Çu  sin2om 
J 1 — ^ b 
o 1 -+-  a 
■b)  (c  - 1) 
(a  -i-  c)  ( I -+-  a) 
(te)  du 
s\n2am  u 
et,  en  vertu  des  formules  précédentes,  elle  devient 
eti  cot  am  (vi  -t-  K)  Aam  {vi  -t-  K)  . u 
u k2 sia  am  (in-t-E)  cos  am  (vi  h-  E)  Aam  ( vi h-  E)  sin2am  (u)  du 
J A 
1 — /;2sin2am  (vi -h  E)  sin2a»t  (u) 
d log  sin  am  [vi  -+-  K) 
dv 
(3) 
4-  Il  (u,  vi  -t-  K). 
Or,  en  vertu  des  principes  des  Fundamenla  nova,  on  a 
r,.  1 H(vi  -f-  K)  1 U.  [vi) 
sin  am  i vi  -4-  h)  = — r • — — — — — r • ^ t 
k~  ®(vi  + E)  k\  °1  (®0 
en  posant  pour  abréger 
H {K  — u)  — Hl  (u),  0 (Ä*  — w)  = 0j  (m). 
par  conséquent 
d log  sin  am  (vi  -+-  E)  d log  Bt  (vi)  d log  04  (oi) 
dv 
dv 
dv 
— U 
La  fonction 
1 
-r  U (w , vi  H-  K) 
peut-être  représentée  par 
d log  0t  (vi)  J_  f-0t  (u  — oi)~|  . 
dv  2 i ° L©i  («  -+-  vi) J ’ 
ce  qui  réduira  l’expression  (8)  à 
d log  flx  (oi)  , f0f  (u  — 
1 do  2i  0 L®i  («  vi) J 
On  peut  semblablement  exprimer  la  seconde  intégrale  de  (7). 
Le  paramètre  ° étant  positif,  on  posera 
a — b 
1 — a 
le  qui  donne 
= fc2tang2am  {w,  k')  = — fc2sin2am  (ici), 
, , f,  l/a  -+•  c 
tang  am  [w,  k)=  V 
sin  am  (to , k ) 
= l/? 
et  faisant 
on  aura 
y/ a h-  c 
1 -+-  c ~ 
J 
sin  rj, 
to 
p • U. 
~ Jov  i — k' 
drj 
On  trouve  encore 
2 sin2ÿ 
sin  am  (tot)  = i ~V  a ~+~  ° , 
1 — a 
cos  am  tot 
y.— 
1 — a 
/=~y 
cot  am  (to i) 
A am  (• tot ) = f-’ 
1 — 6 
1 — a 
En  vertu  de  ces  formules  la  seconde  intégrale  de  (7)  de- 
vient 
f2t  cot  am  (tot)  Jam  (tot)  . tt 
_ c2  f U k2  s‘n  am  (to*)  cos  am  (toi)  ,datn  (toi)  sin2ant  (te) . du 
i - o 1 — ft2sin2am  (toi)  sin2at?i  (te) 
d log  H (toi)  o,  0 (w  — toi) 
= f„tt  — — — loi? 
dto  2i  0 ©(w-t-toi) 
Donc 
_ d log  Hl  (vi) 
iP-*-yjo=£i~ 
dv 
d log  B (toi) 
dto 
0 (to  — toi)- 
_ rii  log  -1  + f?  io. 
L 2i  ©1  ( te  h- oi)  2 i ° 0 (te -t- toi)  J 
En  posant  pour  abréger 
on  aura 
d log  H,  (vi)  d log  H (toi)  r 
e i 1-  f, -r = w , 
1 dv  z dto 
^lo^tt-oi) 
2 i 0 ©j  (u  H-  vi)  1 
1 , ^ 0 (te  — toi) 
2i  °°  0 (MH- toi)  2’ 
= n'v  (<-+-*■)  (^1  -+"  f2^2)- 
Si  l’on  convient  de  compter  l’angle  à partir  de  la  direction 
initiale  de  ON,  on  aura  tp  — o pour  t = o,  ce  qui  donne 
% = »F-[flï1<0,  + ^2(0)], 
où  l’on  a 
y,(Q)  = llog  gL<pT.--_f,.<)> 
1 2i  0 0X  (pz  h-  oi) 
Y (o)  _ JL 10„  . 
2 — 2i  80(prH-toi) 
Ainsi,  définitivement, 
v/ = «pi  - [fl  (^  - r^)  -t-  (^2  - y2<°>)]. 
