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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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Nous  allons  maintenant  discuter  les  cas  particuliers  les  plus 
remarquables  qui  peuvent  se  présenter  dans  le  mouvement 
que  nous  considérons. 
7.  Supposons,  en  premier  lieu,  que  l’axe  instantané  dans 
son  état  initial  se  confonde  avec  l’axe  de  figure  Oz  . Alors  n 
est  la  vitesse  angulaire  initiale;  elle  est  positive  ou  négative, 
selon  que  son  axe  de  rotation  est  dirigé  suivant  la  direction 
de  Otoù  se  trouve  le  centre  de  gravité,  ou  en  sens  contraire. 
dcp  , , , dn>  dO 
La  valeur  initiale  de  — sera  egale  a n,  et  celles  de  — > — > 
dt  ° dt  dt 
c.-à  d.  X et  fi  seront  milles.  D'après  cela  les  équations  de  con- 
dition (4)  se  réduisent  à 
Cn  cos  a.  = 1, 
h=  — cos  a , 
Substituant  ces  valeurs  de  l et  k dans  l’équation 
/ c?z \ 2 2 AMgy  (z-t-  h)  (\  - z2)  - (l  - Cn:)2 
\dt)  A2  ’ 
on  aura 
jdz  \ 2 [2  AMgy  (1  — z2)  — C2n2  (:  — cos  «)]  ( z — cos  a) 
\â)  ~~  a2 
On  voit  que  cos  a est  une  racine  du  second  membre;  les  deux 
autres  l’acines  appartiennent  au  facteur 
2 AMgy  (1  — z2)  - C2n2  {z  - cos  a). 
L une  d'elles  se  trouve  entre  les  limites  cos  a et  -t- 1 , et 
l'autre  entre  — 1 et  — oo. 
Lorsque  a </90°  c.-à-d.  lorsque  cos  a^>  0,  la  racine  com- 
prise entre  cos  a et  1 est  positive,  et  dans  le  cas  de  a 90°, 
ou  de  cos  a 0,  elle  peut  être  ou  positive  ou  négative,  selon 
que  2 AMgy -y-  C2n2  cos  a aura  le  signe  i ou  — , c.-à-d.  se- 
lon que  n 2 sera  moindre  ou  plus  grand  que 
2 AMgy  . 
? 
— cos  a 
mais,  en  tous  cas,  cette  racine  est  la  plus  grande  des  trois: 
a,  b.  — c,  c.-à-d.  c’est  celle  qui  est  désignée  par  a = cos  ß. 
On  aura  donc 
b — cos  a 
C2n2 
W f C2n2 
a-~4lMgy~i-  V \Â C0S  a)  "»-*n2a=co sß 
C2n 2 
Y 
C2n2 
-t-  cos  a 
sin2a, 
4 AMgy  ' ' \4  AMgy 
cos  ß>  cos  a. 
Ainsi,  lorsque  a et  ß sont  inégaux,  a est  la  plus  grande  va- 
leur de  0,  et  ß la  plus  petite. 
L’angle  0 sera  déterminé  par  la  formule 
cos  6 = cos  a . s\n2amp  (t  - »-  t)  -+-  cos  ß . co s2amp  (l  -t-  r). 
Au  moyen  des  valeurs  de  a,  b,  c,  on  trouve  facilement: 
in  2 
si  11 
in2 
6111 
k = 
k = 
Y 
• 2 “ O ■ iß 
sin2  — cos  3 -h  sin4  ~- 
2 1 9. 
sin2  ~ cos  ß -t-  sin4  -~- 
AMgy  sin2/5 
p — dr 
Mgy  sin  ß 
Cnk 
k2= 
C2n2 
Y(— 
y \aaa 
2 \2 
cos  a -t-  sindx 
V 4 AMgy 
Le  signe  ± dans  l’expression  de  p est  le  même  que  celui  de 
n.  La  formule  qui  détermine  la  constante  pr,  donne 
sin  am  (pz) 
_ ± -j/a  — cos  a _ ± x 
a — b 
donc 
px  = dt  K, 
de 
Comme  la  valeur  initiale  de  — est  nulle,  le  signe  de  pz  reste 
indéterminé;  mais,  prenant  l’un  ou  l’autre  signe,  on  aura  le 
même  résultat  : 
cos  0 = cos  a . sin 2 am  (A’  — pt)  -t-  cos  ß cos2 am  [K  — - pt) 
— cos  a . sin2am  (pt)  -s-  cos  ß cos2cos  am  (pt) 
cos  a . cos 2am  (pt)  k'2 cos  ß . sin^am  (pt) 
A2 am  (pt) 
O» 
Lés  valeurs  de 
. ^ . Cn  cos2  — 
l -+-  Cn  Cn  (1  -H  cos  a)  2 
2 Ap 
l — Cn 
2 Ap 
Cn  (1  — cos  a) 
Ap 
Cn  sin2 
2 
2 Ap  2 Ap  Ap 
étant  de  signes  contraires , on  a e2  — — , et  sera  de 
même  signe  que  n.  Pour  déterminer  les  arguments  v et  iv, 
on  trouve 
sin  am  («,  k') 
v , k')  = sin  £ = ~Z - [ = 
sin 
c -t-  b 
sin 
sin  am 
(w,  k')  = sin  7]  = V aYYYL  — 
1-f-C 
sin 
1 — tang2  Y ( 1 
Sln  !) 
= ~Z \ — tang2  cos2 Y 
Jd 
ß 
Lorsque  ß < 90°  on  a tang  1 et  par  conséquent 
V\  — tang2  |-cos2Ê>  sin  |,  7j>^; 
le:  contraire  aura  lieu  quand  ß^>  90°. 
