139  di-  r Académie  de  Samt , Pétershoirg. 
Les  formules  des  articles  précédents  qui  servent  à calculer 
ip  et  cp  deviennent  : 
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C cos  0 (cos  Ö - co sa)  = C cos'O  - cos  0 cos  « 
' p 
* =ci  L 
'<>  log  Bx  (vi)  d log  n (tri) 
dv 
dw 
0- 
tp  _ * 1 1 ©(pt  — Vi) 
1 2/  ^ ©!  (pi  zp  h'-i-vi)  2 i © 
: 1 loe  W) 
2 i ® © (pt  rfc  Jf  vi) 
( pt  -+-  vi) 
JL  j0fr  ®i  (p*  - tci) 
2 1 0 ©j  (pi  -+-  wi)  ’ 
Y/°>  = 0,  T2(o)  = 0, 
y=n'vt-e j ppj  - TP-a]=nV  - - log  @(p*_w‘)0i(p^M”‘) 
9 
: 2f 
:[W 
[« 
■ C 
2i  & © (pt-i-vi)  ©jp( — iü»)’ 
cog2  rfjog_©L(m-)  ^ c l log  0 (win 
2 dv  2 dw  J ’ 
. (»"  _ O»')  J,]  i _ e%  y2] 
(n"  — a»')  p]  i — il  log “ wi\ 
v 2i  fe©(pt 
- vi)Ol  (pt  -+-  wi) 
La  composante  de  la  vitesse  de  rotation  qui  a pour  axe  la 
verticale  Oz , sera 
Cn  (cos  a — cos  6) 
dxj) 
dt 
A sin20 
Elle  aura  toujours  un  signe  contraire  à celui  de  n parce- 
que  cos  a cosô  reste  négatif.  Donc,  ep  étant  nul  pour  l = 0, 
deviendra  et  restera  négatif  pendant  tout  le  mouvement  quand 
n est  positif,  c.-à-d.  le  mouvement  de  ON  aura  lieu  de  Oy 
vers  Ox  quand  1 axe  primitif  de  rotation  n est  dirigé  suivant 
Oz,  du  côté  ou  se  trouve  le  centre  de  gravité.  Le  contraire 
aura  lieu  quand  n est  négatif,  c.-à-d.  quand  l’axe  de  cette  ro- 
rotation  est  opposé  à Oz'.  Ce  qui  s’accorde  avec  les  phéno- 
mènes du  gyroscope.  Le  temps  venant  à croître,  le  premier 
terme  de  cp  deviendra,  après  un  certain!  temps,  plus  grand 
que  la  partie  périodique  et  aura  donc  le  meme  signe  que  tp, 
ce  qui  exige  que  n soit  de  signe  contraire  à n. 
La  composante  de  la  vitesse  de  rotation  par  rapport  à 
l’axe  Oz‘, 
dtp 
dt 
A df 
cos  6 -f  > 
dt 
après  l’élimination  de  devient 
• C cos  0 (cos  0 — cos  a )] 
dp 
dt 
dt 
n [A  sin20  ■ 
sin20 
Cette  valeur  pourra  changer  de  signe  seulement  dans  le 
cas  de 
C ^ % «.  4 A (C  — A) 
■ — » cos  a O,  cos^a^ — 
À C 
En  effet,  il  est  évident  en  premier  lieu  que  dans  le  cas  de 
cosa^>0,  la  valeur  cos  Ö (cos  9 — cos  a)  sera  positive  par- 
ceque  cos  0 > cos  a ; donc  ~ conservera  pendant  tout  le 
mouvement  le  signe  de  n.  Secondement,  quand  cos  a <|0,  la 
valeur 
sera  encore  positive  lorsque  cos  0 devient  positif,  et  changera 
de  signe  avec  cos  0;  mais  si  cos  0 < 0 et  = C la  valeur 
numérique  de 
A sin20  = A (1  — cos20) 
surpassera  évidemment  celle  de  C (co s20  — cos  0 co sa);  donc 
la  fonction  multipliée  par  n restera  encore  positive  et  — 
aura  constamment  le  signe  de  n.  Il  reste  donc  à considérer 
le  cas  de  A < C et  cos  a < 0.  La  fonction 
j4sin20-i-Ccos0(cos0 — cosa)=(C — .4)cos20 — Ccosôcosa-H/i 
aura  un  minimum 
C2COS2a 
A - 
qui  répond  à 
COS  0 : 
4(C  — A) 
C COS  a 
‘2  (C— A)* 
et  pourra  changer  de  signe  seulement  quand  ce  minimum  est 
négatif,  c.-à-d.  lorsque 
COS2CC 
4 A { C - .4) 
~~C2 
Mais  pour  que  ce  minimum  soit  possible,  on  doit  avoir 
C cos  « C cos  a . „ 4a(C  — A) 
W=J)>cosa'  - ’ ’ —<?—<'• 
C 
La  première  de  ces  conditions  revient  à A < — , et  les  deux 
autres  en  sont  des  conséquences. 
Cela  posé,  deviendra  nulle  et  changera  de  signe  pour 
les  valeurs  de  cos  0: 
C cos  a 
l/  C2  cos  a A 
2 (C  — A) 
V 4 (C  — A)  C — A 
C cos  a 
l/  C2  cos  a A 
1 
(X 
l'I 
1 
1 0 
1 
^T 
i 
ü 
T 
qui  sont  toutes  les  deux  négatives  et  plus  grandes  que  cos  ce. 
comme  il  est  facile  de  s’en  assurer.  Soit  cos  0l  la  plus  grande 
et  cos  Ô2  la  plus  petite  de  ces  valeurs,  en  prenant  pour  0,  et 
02  des  angles  compris  entre  90°  et  180°;  si  l'on  a ß"^>02, 
l’angle  0,  pendant  tous  le  mouvement,  restera  > 0.,  et  par 
conséquent  ^ ne  changera  pas  de  signe.  Dans  le  cas  de 
02|^>  /?  ]>  0, , la  variable  — > ayant  primitivement  le  signe  de 
n,  changera  désigné  une  fois  dans  l’intervalle  de  temps  écoulé 
entre  le  maximum  a et  le  minimum  ß de  0,  et  une  seconde 
fois  pendant  que  0 revient  de  ß à a.  Enfin,  dans  le  cas  de 
tim 
ß <^0l,  changera  deux  fois  de  signe  pendant  que  6 \a  de 
a à ß et  deux  fois  pendant  que  0 revient  de  ß à «. 
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