131 
Bulletin  pfiysieo  - mathématique 
132 
8)  Admettant  toujours  que  l’axe  primitif  de  rotation  est 
dirigé  suivant  Oz [ supposons  que  cet  axe  ait  été  vertical  à 
l'origine  du  mouvement,  c.-à-d.  que 
ct  = 0 ou  ct=  180°,  cos  a = ±i. 
Considérons  premièrement  le  cas  de  a = 0.  On  aura  alors 
cos  ß = cos  a = -f- 1 , k = 0 , k = 1 , 
ce  qui  donne,  en  vertu  de  la  formule  (9) 
cos  0 = cos  a = 1. 
Par  conséquent  l’axe  Oz  reste  vertical.  Les  valeurs  de 
df  dep 
dt  ’ dt 
deviennent  indéterminées  ; mais  leur  somme,  en  vertu  de  l’é- 
quation ndt  = dep  -H  cos  Qdip , et  de  cos  0=1,  sera  constam- 
ment égale  à n;  donc 
ip  -+-  çp  = ni , 
ce  qui  prouve  que  la  rotation  est  uniforme. 
Dans  le  cas  de  cosa  = — 1,  il  se  présente  deux  circon- 
stances: 
^ n - “>  1;  on  aura,  comme  précédemment, 
' 4 AMçjy^ 
cos  ß — cos  a,  k = 0,  k = 1 
et  par  suite 
cos  0 = cos  <x  = — 1 , 
2) 
dep  dtp 
- — n.  cp  — ip  = nt , 
dt  dt  ' ‘ 
C2nz  ^ , a*  cZn 2 
AAMgy^  1 2 ÀMgy 
6 = cosa=— 1,  c = 1 
t=î^  = l,  *'=  0; 
a n-  c 
la  formule  (9)  donne  cos  0 = cos  a = — 1 ; et  par  consé- 
quent cp  — \p  — ni. 
Donc,  en  général,  quand  l’axe  de  figure  à l’origine  du 
mouvement,  est  vertical  et  se  confond  avec  l’axe  primitif  de 
rotation,  alors,  pendant  toute  la  durée  du  mouvement  cet 
axe  restera  vertical  et  la  rotation  sera  uniforme 
9)  Supposons  encore  que  l’axe  primitif  de  rotation  est  Oz 
et  que  de  plus  la  vitesse  n est  très  grande,  et  telle  qu’on  peut 
1 
négliger  les  puissances  supérieures  de  -2  • Développant  dans 
cette  hypothèse  la  valeur  de 
a C2nZ  -i//  C2n2  \2  . 2 
a = cos  3 = — — — h-  Y I — — — h-  cos  a H-  sin^a 
1 A AMgy  \4  AMgy  J 
et  faisant  pour  abréger 
AMgy â2 
C2n2  ’ 
on  trouve 
cos  ß = cos  a -t-  2ô2sin2a, 
valeur  qui  diffère  très  peu  de  cos  a,  et  qui  donne 
i r s 2 ■ i'  * Cn  1 W Mgy 
/c=4crsinoc,  k =1 , p = ± — — — V — -, 
AA  4à  A 
cos  0 = cos  a -+-  2<52sin2cc . sin2(pt), 
^=_äya[i_c0S(ä?()], 
*,  = =,=  [a  V"^<-2S*si„  (2y()  J 
Cn  L Cn  \24/J 
dep  dui 
— — n cos  a , 
dt  dt 
Mgy  . 2 AMgy  . [Cnt\ 
t = * ( ' “ Cn  C0S  “>  ‘ •*“  C C0S  “ S1"  \25j  ' 
Ces  formules,  qui  s’accordent  avec  celles  de  la  Mécanique 
de  Poisson,  montrent; 
1)  Que  l’angle  0 varie  très  peu,  et  revient  à sa  valeur  pri- 
mitive après  une  période  de  temps; 
A An 
Cn 
2)  Que  les  parties  périodiques  de  tp  et  de  cp  sont  très  pe- 
tites en  comparaison  des  termes  proportionels  au  temps, 
et  par  conséquent  les  angles  tp  et  cp  varieront  à peu  près 
uniformément. 
3)  L’angle  cp  est  de  même  signe  que  n,  et  tp  de  signe  con- 
traire. 
4)  L’angle  ip  varie  très  lentement  comparativement  à <p, 
c -à-d.  comparativement  à la  rotation  autour  de  l’axe 
Oz. 
La  machine  de  Bonenberger  justifie  toutes  ces  conclu- 
sions. 
10)  Considérons  maintenant  le  cas  de  n = 0.  L’axe  primi- 
tif  de  rotation  sera  alors  situé  dans  le  plan  x Oij . Désignant 
par  m l’angle  formé  par  cet  axe  avec  la  droite  OiV,  et  par  Ll0 
la  vitesse  angulaire  de  la  rotation  initiale,  on  aura 
, sm  m „ 
À = - - -,  u = lLnCOSm , 
sin  a u 
l — ACt0  sin  a sin  m,  fl0z  = — — - (cos  a -A-  h) , 
A 
ce  qui  donne 
$in  6^  = fl0  sin  a sin  m , 
sin2  0 ■+- = A)2  (c°s  Ö — cos  a)  1(10) 
dep  a df 
— COS  0 -7 
dt  dt 
