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de  FAcadgmie  de  Saint  - Pétepstopurg-. 
Pendant  tout  le  mouvement  on  aura  r — n — 0,  c.-à-d.  il  n’y 
aura  pas  de  rotation  autour  de  l’axe  Oz'. 
On  peut  identifier  ces  équations  avec  celles  qui  détermi- 
nent le  mouvement  d’un  seul  point  sur  la  surface  d’une  sphère, 
c.-à-d.  avec  les  équations  du  mouvement  d’un  pendule  simple, 
plan  ou  conique.  En  effet,  si  l’on  suppose  que  la  masse  M se 
réduise  à un  seul  point  matériel,  et  que  l’on  désigne  par  8 sa 
distance  au  point  fixe  O,  on  aura,  en  vertu  des  formules  (10), 
pour  déterminer  le  mouvement  de  ce  point: 
l/g  («  + o 
1 25 
En  vertu  de  n — 0,  les  constantes 
se  réduisent  à 
l -+-  Cn  l — Cn 
2 Ap  ’ 2 Ap 
l d0  sin  a sin  m 
2 Ap  2 p 
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et,  m,  ft0,  <p,  0,  ip  ayant  la  même  signification  qu’aupara- 
vant.  Ces  dernières  équations  seront  identiques  avec  les  équa- 
tions générales  (10),  si  l’on  pose 
8=  — • 
My 
Désignant  par  MQ 2 le  moment  d'inertie  de  la  masse  Mpar 
rapport  à un  axe  perpendiculaire  à l’axe  de  figure  Oz  mène 
par  le  centre  de  gravité,  on  a A — MQ 2 Myz  -,  par  consé- 
quent 
C’est  précisément  la  formule  connue  pour  la  distance  du 
centre  d’oscillation  à l’axe  de  suspension  dans  le  pendule 
composé  ordinaire,  à oscillations  planes.  On  peut  donc  dire: 
que  le  pendule  composé  conique , tel  que  nous  le  considérons  dans 
le  cas,  où  la  direction  de  la  vitesse  initiale  passe  par  l'axe  de 
figure , a un  centre  d' oscillation  qui  est  le  même  que  pour  le 
pendule  composé  à oscillations  planes.  11  est  facile  de  voir  que 
le  centre  d’oscillation  du  pendule  conique  et  le  point  de  sus- 
pension O sont,  comme  pour  les  oscillations  planes,  des  points 
réciproques,  c.-à-d.  que  si  l'on  fixe  le  centre  d’oscillation,  en 
rendant  libre  le  point  O,  ce  dernier  point  deviendra  à son 
tour  centre  d’oscillation. 
Ainsi,  le  mouvement  du  corps  dans  le  cas  que  nous  consi- 
dérons, peut  être  remplacé  par  le  mouvement  d’un  point  pe- 
sant sur  la  surface  d’une  sphère  de  rayon  8 En  substituant 
A 
dans  les  formules  (10)  8 h — » l’équation  pour  déterminer 
cos  6 — z devient 
(^j  =ij-[z-t-h)(î  — z2)  — Jfl02sin2cc  sin2m, 
a,  b,  — c étant  les  racines  du  second  membre  égalé  à zéro. 
Pour  déterminer  0,  on  aura 
cos  Q — a co s2amp  (t  -t-  x)  H-  b sin 2amp  {l  -4-  r), 
où 
Le  signe  de  cette  valeur  dépend  du  signe  de  sinm;  par 
conséquent  el  et  e2  auront  le  signe  -t-  ou  — suivant  que  m 
sera  <180°  ou  > 180°.  Ainsi 
n—£  r d 'og  Ih  (w)  d[oSH(wi)-] 
1 L dv  dw  J ’ 
4'-f,  ['P1-'F1(°)  + ,P2  - 'P2(c0], 
cp  =(n"-an)pt—el  — 
n"=  2e.  feos2  i-  _ sjn*  L 
L 2 dv  2 dw  J 
H est  facile  de  s’assurer  que  ces  formules  s’accordent  avec 
celles  qui  on  été  trouvées  par  M.  Tissot 6),  pour  le  mouve- 
ment d’un  point  pesant  sur  une  sphère. 
Quand  ft0  = 0 ou  sin  m = 0 c.-à-d.  quand  la  vitesse  ini- 
tiale est  nulle,  ou  qu’elle  est  dirigée  dans  le  plan  zOzÿ  on  a 
l — 0,  et  par  suite 
2 = 0,  ÿ=0, 
c.-à-d.  que  le  centre  d’oscillation  ne  sortira  pas  du  plan  pri- 
mitif zOz  . 
La  supposition  de  fl0  = 0 donne  encore 
(dd\ 
\i)  -yVsG-co •«); 
c’est  l’équation  connue  pour  déterminer  les  oscillations  planes 
du  pendule  simple.  On  aura  dans  ce  cas 
/c2  : 
o=1,  6 = cos  oc,  c=  1, 
1 — cos  a . 2 a , >■>  2 « 
= sin  — > k = cos 
l/l 
2 2 2 
sin  am  (pv)  = ± 1 , pv  — K, 
cos  Ö = cos  coatn 
d’où  l’on  tire 
KD 
■ cos  a sin  coatn 
. 6 a 
sin  — = sin  — - sin  coatn 
M — 
Kl) 
cos  am 
KD- 
KD 
A am 
» j 
La  durée  d’une  oscillation  entière  sera 
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6)  Journal  de  Mathématique  de  M.  Liouville  T.  XVII. 
