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If  it  Hot  in  pfiysieo  - mathématique 
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1°  De  trois  tiges  de  cuivre  égales  De,  cf,  eg,  de  2T3öbö  de  pouce 
de  longueur,  unies  entr’elles  à charnière  en  e;  la  tige  cD  est 
jointe  par  un  rivet  à l'axe  qui  passe  par  D;  quant  aux  deux 
autres  ef  et  eg, leurs  extrémités  /'et  g se  meuvent  librement  dans 
les  coulisses  mn  et  yq,  pratiquées  dans  les  deux  règles  BD  et 
CD.  2°  D’une  règle  FG  (figures  1 et  2)  dont  chacune  des  ex- 
trémités entre  dans  une  pièce  de  cuivre  ou  étrier,  dans  lequel 
elle  peut  glisser  librement;  ces  deux  étriers  rr  et  ss  sont  fixe- 
ment adaptés  aux  extrémités  f et  g des  deux  axes.  Au  milieu 
de  cette  règle  se  trouve  un  cadre  LM  (fig.  2)  qui  contient  une 
roue  kl  de  1 pouce  de  diamètre,  tournant  librement  autour 
de  l’axe  ij  passant  par  son  centre.  Le  plan  de  cette  roue  est 
perpendiculaire  au  plan  du  rhombe.  Sa  circonférence  est  di- 
visée en  100  parties  égales;  un  vernier  qui  y est  adapté 
donne  les  12èmes  parties  de  ces  divisions.  Enfin,  pour  mainte- 
nir constamment  le  centre  de  cette  roue  dans  le  plan  vertical 
passant  par  les  deux  points  A et  D (fig.  1),  on  a employé  la 
fourchette  aßyd  (fig.  2),  fixée  au  cadre  LM  en  a e Iß,  et  dont 
l extrémité  yô  glisse  le  long  de  la  coulisse  À,u,  pratiquée  dans 
la  tige  De. 
L’instrument  repose  sur  quatre  pieds  d’acier  AA,  BB,  CC , 
DD,  de  5|  lignes  environ  de  hauteur.  Le  premier  AA,  qu’on 
peut  appeler  traçoir , se  termine  en  pointe  émoussée,  et  sert 
à suivre  le  contour  de  la  figure  dont  on  détermine  la  super- 
ficie; les  deux  pieds  BB,  CC'  ont  leurs  extrémités  arrondies, 
pour  glisser  plus  facilement  sur  le  papier;  enfin,  le  troisième 
DD,  un  peu  plus  long  que  les  autres,  est  terminé  en  pointe , 
et  sert  à fixer  l’instrument  sur  le  plan.  Pour  donner  à l’appa- 
reil encore  plus  de  stabilité,  on  emploie  le  poids  P (fig.  3)  que 
l’on  pose  sur  la  feuille  en  faisant  entrer  l’extrémité  de  l’axe 
D (fig.  1)  dans  un  petit  trou  1,  pratiqué  dans  la  tige  métallique 
coudée  II  fixement  attachée  à P. 
Pour  faire  usage  du  Planimètre,  on  le  posera  sur  la  feuille 
du  plan,  préalablement  collée  sur  une  planche,  et  on  fixera  le 
point  D comme  on  vient  de  le  dire.  On  fera  parcourir  en- 
suite à la  pointe  A du  traçoir  AA  le  contour  de  la  figure 
dont  on  détermine  faire,  en  mettant  le  vernier  à zéro;  ce 
mouvement  sera  tout -à-fait  le  même  que  celui  du  panto- 
graplie.  L’aire  cherchée  se  trouvera  directement  indiquée  par 
la  roue  de  l’instrument:  les  divisions  du  limbe,  avec  le  ver- 
nier, donneront  le  nombre  de  dessiatines  et  de  leurs  dou- 
zièmes parties,  contenues  dans  la  superficie  de  la  figure. 
Dans  le  second  instrument,  la  roue  est  placée  sous  le 
rhombe  ainsi  que  sous  le  système  des  trois  tiges,  ce  qui  fait 
que  son  mouvement  n’est  pas  géné  par  ces  pièces.  De  cette 
manière  l’appareil  embrasse  un  champ  plus  considérable  que 
le  premier:  l’extrémité  A (fig.  1)  du  traçoir  peut  s’éloigner 
de  1 11  2 pouces  du  point  fixe  D ; par  conséquent,  la  surface 
du  plus  grand  cercle  que  mesure  directement  le  Planimètre, 
est  de  plus  de  415  pouces  carrés,  ce  qui  revient  en  nombre 
rond  à 432  dessiatines,  le  pouce  correspondant  à 50  sa  gènes. 
De  plus,  comme  la  pointe  du  traçoir  peut  être  rapprochée  du 
point  fixe  I)  de  5l/a  pouces,  il  s’en  suit  que  l’instrument 
donne  immédiatement  l’aire  de  toute  figure  comprise  dans  la 
couronne  formée  par  deux  cercles  concentriques  de  51  2 
ponces  et  de  11 '/2  pouces  de  rayon  La  portée  du  Planimètre 
est  donc  très  satisfaisante  comparativement  à ses  dimensions, 
et  aucun  autre,  à dimensions  égales,  n’embrasse  un  champ 
aussi  considérable  Le  rhombe,  posé  dans  ce  second  instru- 
ment sur  des  pieds  de  plus  de  2 pouces  de  hauteur,  est  com- 
posé de  règles  doubles,  pour  que  l’appareil  ait  plus  de  fixité. 
Enfin,  l’axe  DD  porte  à sa  partie  inférieure  une  plaque  cir- 
culaire en  métal  de  près  de  4-1  „ pouces  de  rayon,  recouverte 
•le  papier  fin,  bien  uni,  sur  laquelle  se  meut  la  roue  destinée 
à donner  les  résultats  définitifs;  de  cette  manière  on  écarte 
les  petites  inexactitudes  qui  pourraient  résulter  du  mouve- 
ment de  la  roue  sur  une  feuille  de  papier  ordinaire,  présen- 
tant quelquefois  des  aspérités  plus  ou  moins  sensibles.  On 
fixe  cette  plaque  sur  le  plan  au  moyen  de  deux  ou  de  trois 
pointes,  ce  qui  dispense  de  faire  usage  du  poids  employé 
dans  le  premier  instrument.  Telles  sont  les  modifications  ap- 
portées au  premier  Planimètre.  modifications  qui  rendent  ce 
second  appareil  d’un  usage  extrêmement  commode. 
Passons  actuellement  au  principe  extrêmement  simple  sur 
lequel  repose  la  construction  des  deux  planimètres  dont  nous 
venons  de  parler.  Imaginons  un  rhombe  ABCD  (fig.  4)  dont 
chaque  côté  soit  égal  à l;  admettons  que  ses  côtés  soient  unis 
entr’eux  à charnière  aux  sommets  des  angles  A,  B,  C,  D.  Dans 
cette  hypothèse  la  figure  du  rhombe  sera  variable,  et  la  dia- 
gonale DA,  théorétiquement  parlant,  pourra  varier  d’une  ma- 
nière continue  entre  les  limites  zéro  et  21.  Soit  cp  l’angle 
BD  A,  égal  aux  trois  autres  angles  ADC,  CAD,  DAB.  Cela 
posé,  supposons  qu’il  s’agisse  de  déterminer  la  surface  du 
secteur  circulaire  DAE , AE  étant  un  arc  de  cercle  décrit  du 
centre  D avec  ie  rayon  DA.  Soit  d l’angle  ADE.  En  représen- 
tant cette  aire  par  w,  nous  aurons: 
n.C-.d 
et  comme  DA  — 21  cos  cp.  il  viendra 
< o = 2l2cos~cp  . d = C (1  -t-  cos  2 <p) . d.  (1) 
Pour  construire  cette  expression,  réunissons  trois  tiges 
cD,  ef,  eg,  égales  entr'elles,  au  point  e au  moyen  d’une  char- 
nière, et  rivons  l’extrémité  D de  la  tige  eD  à l’axe  qui  passe 
par  le  point  D;  de  plus,  assujetissons  les  extrémités  f et  g des 
tiges  ef,  eg  à se  mouvoir  librement  le  long  des  côtés  DB,  DC 
du  rhombe.  Soit  a — De  = ef  = eg.  Joignons  f avec  g,  et  dé- 
signons par  q la  longueur  Di.  Comme  l’angle  ief  est  double 
de  l’angle  AD  B — cp,  nous  aurons  ; 
ç — a (1  -t-  cos  2 93) , 
et  par  consequent,  en  vertu  de  la  formule  (1), 
co  = pZ-2  . 6.  (2) 
a 
Supposons  enfin  qu’au  point  i se  trouve  le  centre  d’un 
cercle  de  rayon  r,  le  plan  de  ce  cercle  étant  perpendiculaire 
