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ßulleti»  pliysieo  - mathématique 
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Donc,  les  écarts  du  rapport  d’agrandissement  dépendent  des 
déviations  de  la  fonction  log  „ et  de  l'intégrale  de 
cette  équation.  Or,  d'après  les  propriétés  remarquables  de 
cette  équation,  on  parvient  à reconnaître  que  le  minimum 
de  déviation  de  son  intégrale  de  la  fonction  log  — 
dans  l’espace  limité  par  une  courbe  quelconque,  ne  peut  avoir 
lieu,  à moins  que  la  différence 
<2 
U — log 
sur  cette  courbe,  n’ait  constamment  la  même  valeur. 
Donc,  par  l’intégration  de  l’équation 
d2U  d2ü_ 
du 2 diz 
sous  cette  condition,  on  aura  la  valeur  de 
v=  Y log  [f'{u  fl/  — î)]  -t-  ! log  [Fr  [u  — ty  — 1)], 
à une  constante  arbitraire  près,  et  de  là  on  tirera  les  valeurs 
des  fonctions 
f'{u- 1—  ty  — 1),  F’  (u  — ty  — 1), 
qui,  à un  facteur  constant  près,  seront  celles  qui  donnent  la 
projection  la  plus  avantageuse.  Quant  à leur  facteur  con- 
stant, qui  l’este  inconnu,  il  se  détermine  facilement  d’après 
la  valeur  normale  du  rapport  d’agrandissement. 
D’après  cela  on  parvient  facilement  à assigner  tous  les  cas 
dans  lesquels  on  peut  parvenir  à la  projection  de  la  carte  la 
plus  précise,  en  prenant  pour  les  méridiens  et  les  parallèles 
des  arcs  de  cercle.  Dans  son  Mémoire,  cité  plus  haut,  La- 
grange a montré  que  dans  toutes  les  méthodes  de  projection 
qui  jouissent  de  cette  propriété,  très  importante  pour  la  pra- 
tique, le  rapport  d’agrandissement  s’exprime  ainsi; 
1 
m 
— — - — u £a2e2c“-«-2a&  cos  2 c (t  — g)-¥-b2e  2 6“J 
Donc,  d’après  ce  que  nous  venons  de  dire,  ces  méthodes  de 
projection  ne  peuvent  donner  la  représentation  la  plus  pré- 
cise d'un  pays  quelconque,  à moins  que  sur  les  bornes  de  ce 
pays  on  n’ait 
logm=  — log  | “ c-ù  J^a2e2C“H-2a6cos.2c(<— ÿ)-j-è2e-2C“J  j 
= constante, 
ou,  ce  qui  revient  au  même, 
logm  = — log  — 
(I) 
t—K  )/— 1 
he-cu-c{t-g)V- 1) 
- log  {aecu+r(t-e)y 
I —log  (a*cu-c{t-e)Y-1 
V — constante. 
Pour  simplifier  cette  équation,  nous  transformerons  les  coor- 
données. en  prenant  le  point,  où  logm  devient  minimum , pour 
le  pôle,  et  pour  premier  méridien  celui  qui  passe  par  le  pôle 
primitif.  Soit  t0  et  90  — s0  la  longitude  et  la  latitude  de  ce 
point,  et  convenons  de  désigner  par  T et  90°  — Z la  longi- 
tude et  la  latitude  dans  le  nouveau  système  des  coordonnées. 
Si  l’on  observe  que,  d’après  la  notation  de  Lagrange  que 
nous  employons,  u désigne  log  ^tang  f 90°  — s étant  la 
latitude  relativement  au  premier  pôle,  et  l la  longitude,  on 
parviendra  facilement  à ces  équations  très  simples; 
u + tV  — î 
t V _ î tang 
e = fang--  e = 
lang  -g  elv  t0V  - i 
1 — tang  — tang  e 
_ pTY 
u — tV  — î 
tang-e 
t V — 1 tang  -r- 
- tangue 
z -tY-1 
~t„v 
1 — tang 
^ tang  2e 
z — tY— i 
En  portant  ces  valeurs  dans  l’équation  (1),  et  en  remar- 
quant que  logm  devient  minimum  pour  Z = 0 , nous  trovons 
que  cette  équation,  aux  quantités  de  l’ordre  tang3  — près. 
devient 
1 -4c2 
2 ^cos2J  — sin2 T)  tang2  — 
tang2 
constante. 
Z 
o a 2 
et  comme  dans  la  projection  stéréographique,  à un  facteur 
constant  près,  on  a 
Z Z 
x = tang  — sin  T,  y = tang  — cos  T, 
cette  équation  nous  donne 
2z0-r-4c2  — 1 
x ‘ 
•4c- 
1 
y 2 = constante. 
Donc,  si  l’on  cherche  la  projection  d’un  pays  assez  petit,  en 
prenant  pour  les  méridiens  et  pour  les  parallèles  des  arcs  de 
cercle,  la  projection  ne  peut  s’approcher  notablement  de  celle 
de  la  plus  précise,  à moins  que  ses  limites,  dans  leur  pro- 
£ 
jection  stéréographique , aux  quantités  de  l’ordre  tang3  — 
près,  ne  vérifient  cette  équation 
sin2zn-»-4e2  — 1 
sin2zn 
X‘ 
sin2z0  — 4<r-+-i  2 
yz  = constante, 
et,  par  conséquent,  ne  présentent  une  courbe  du  second  degré 
qui  sera  évidemment  une  ellipse,  car  cette  courbe  doit  être 
fermée. 
D’après  l’équation  précédente  on  voit  qu’un  des  axes  de 
cette  ellipse  suit  la  direction  du  méridien  et  que  leur  rap- 
port est  égal  à 
-j/sin2z0  - 
4c2 
sin2£0-t-4c2  — 1 
Donc,  s’il  s’agissait  de  projeter  une  portion  de  la  surface 
du  globe,  limitée  par  une  pareille  courbe  dont  les  axes  sont 
en  rapport  de  1 : n,  l’exposant  de  projection  serait  déterminé 
ainsi; 
«2  — | 
(2c)2  = l-i- 
1 
sm‘2 
o* 
i no 
