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Bulletin  pliystco  - mathématique 
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1.2  3.  ..ft.  1.2  3 ....  (ti  — k)  H-  ( — \f  = 0 (mod.pj 
en  observant  que  n étant  égal  à p — 1,  est  essentiellement 
pair,  sauf  le  cas  p = 2 qui  se  vérifie  directement.  Ainsi, 
en  vertu  de  la  proposition  démontrée,  on  aura,  par  exemple 
pour  p = 11,  les  congruences  suivantes: 
1 2.3.4  5. fi. 7 8.9.10h-  1 
1 .1.2  3.4  5.6  7.89  - 1 
1 2 1.2  3 4.5.6  7 8 H- 1 
1 2. 3. 1.2  3.4.5  67  1 
1.2. 3. 4. 1.2. 3. 4 5.6  h- 1 
1 .2. 3. 4. 5.1 .2.34.5  — l 
= 0 (mod.  11) 
dont  la  première  et  la  dernière,  pour  un  nombre  premier 
p quelconque,  sont  les  seules  dont  on  fasse  généralement 
mention. 
Observons  aussi  que  la  congruence  (1)  peut  être  de  suite 
changée  en  cette  autre  : 
n(n  - 1)  (n— 2)...(n— fcn-1)  »(n  — 1)  (n  — 2)...(n  — n — k — 1) 
H-  — 1)*  = 0 (mod.p) , (3) 
les  lettres  p,  n,  k ayant  la  même  signification  qu’auparavant. 
En  effet,  puisque 
»(» — 1)  (» — 2)....(n  — ft  h-  1)  — (p  — 1)  (p  - 2)  (p — -3) — (p- — k) 
= ( — \)k\ .2.3....fc(mod.p)  (3) 
et  > 
»(» -!)(»—  2).. .(n— n— k— ï)=(p— 1)fp—  2J(p— 3)...(p— n^ït) 
=={-\)n~k\ .2.3 ...(»— ft)  (mod.p), 
on  aura,  à cause  de  ( — 1)”  = H-  1, 
n (n— 1)  (i n — 2). ...(»— fcn-1) .«(»—!)  (n — 2)..  (n — n — 4—1) 
==1.2.3  - Je. 1.2. 3.  . ..(»—*)  = - (— 1)*  (mod .p), 
conformément  à notre  assertion. 
De  la  congruence  (3)  on  tire,  comme  conséquence,  la  pro- 
position suivante; 
Soient 
1-  nt,  n2,  n.  . . . . 
les  coefficients  binomiaux  relatifs  à l'exposant  n = p — 1 , p 
étant  un  nombre  premier , en  sorte  que  l’on  ait 
n,  =n  = p — 1 
n (n — 1) (p  — 1)  (p  — 2) 
"2— ' 1.2  — 1.2 
n(n  — 1)  (n  — 2) {p  — 1)  (p  — 2)  {p  — 3) 
~ ' 1.2.3  — 1.2.3 
n{n—  1) (n—  jttn-1) (p  l)(p-2) (p  — p) 
1 2.3...,«  1.2.3.  ..p 
Ce/a  posé,  /a  somme  ou  la  différence  n j ± nß  de  deux  quel- 
conques de  ces  coefficients  sera  toujours  divisible  par  p. 
Si  p n’était  pas  premier,  le  théorème  énoncé  n’aurait  pas 
lieu  généralement. 
Représentons  par  X et  fi  deux  entiers  quelconques  in- 
férieurs à p — 1;  on  aura,  en  vertu  de  la  congruence  (3), 
les  deux  suivantes 
(p — I)  (p — 2)  (p— 3) . . .fr-X)==(-i)À.  1.2.3.  . A(mod.p) 
(P — 1)  (P — 2)  (p — 3).  . (p— /*)  = (—  l/M.2.3  ..p(mod.p), 
qui  donnent  évidemment 
(p  — l)(p  — 2) (p  — /i) 
1.2.3. . .;. 
= nÀ  = [—i)À  (mod.  p) 
(p—  1)  (p  — 2) (p  — p) 
1.2  3....P  — V 
^=  ( — iy*  (mod.  p), 
d’où  l’on  tire  de  suite 
n x ± [ — 1)^  riz  ( — 1)^  (mod. pj. 
Pour  que  le  second  membre  ( — 1)^  rfc  ( — 1)^  se  réduise 
à zéro,  il  suffira  de  prendre  le  signe  h-  si  X et  p sont  des 
nombres  d’espèces  différentes,  c’est-à-dire  l’un  pair  et  l'autre 
impair,  et  le  signe  moins  s’ils  sont  de  même  espèce.  Ainsi, 
la  somme  n ^ h-  n ^ de  deux  coefficients  binomiaux  sera  tou- 
jours congrue  à zéro  suivant  le  module  p si  l’un  de  ces 
deux  coefficients  est  d’ordre  pair,  et  l’autre  d’ordre  impair. 
Au  contraire,  s’ils  sont  tous  les  deux  d’un  même  ordre,  ce 
sera  leur  différence  nj  — n ^ qui  sera  divisible  par  p. 
Nous  terminerons  cette  Note  en  étendant  la  proposition 
exprimée  par  la  congruence  (1)  à un  module  composé  quel- 
conque N.  Le  théorème  connu  que  nous  allons  généraliser 
consiste  , comme  ôn  sait , en  ce  que  le  produit  de  tous  les 
nombres  premiers  à N,  augmenté  ou  diminué  de  l'unité , est  tou- 
jours congru  à zéro  suivant  le  module  N.  Le  produit  dont  il 
s’agit  doit  être  augmenté  de  l’unité  1°,  quand  N est  de 
l’une  des  deux  formes  pm  ou  2 pm,  p étant  un  nombre  pre- 
mier, différent  de  2,  et  2°,  quand  N = 2 et  N=  4.  Dans 
tous  les  autres  cas  c’est  le  signe  moins  qu’il  faut  admettre. 
Cela  posé,  nous  allons  démontrer  qu’en  représentant  par 
Qi*  9V s 
tous  les  nombres  premiers  à N,  et  rangés  par  ordre  de  leur 
grandeur,  en  sorte  que  q,  <(<p,  <C.Ç3  <C  on  aura, 
outre  la  congruence  connue, 
-9j  -+-  (—1)^  = 0 (mod.  iV),  (4) 
8 étant  déterminé  par  les  conditions  que  nous  venons  d’é- 
noncer, encore  la  suivante,  plus  générale; 
Wé-ï/î  7iMs--?j-^"+'(“1)*"HA  = °(mod.iV),  (5) 
quelque  soit  le  nombre  entier  X,  inférieur  à s. 
Pour  prouver  cette  proposition,  observons  avant  tout  que 
s,  qui  désigne  la  totalité  des  nombres  inférieurs  et  premiers 
à N.  est  nécessairement  pair;  en  effet,  si  l’on  décomposé  N 
en  facteurs  premiers,  et  qu’on  pose  en  conséquence 

