2G7 
Bulletin  pliysico  - mathématique 
208 
sten  und  entwickeltsten  war  die  wilde  Weintraube  an  der  süd- 
lichsten Stelle  des  mittlern  Amur,  nämlich  zwischen  dem 
Chingan-Gebirge  und  der  Sungari-Mündung  am  linken  Amur- 
Ufer  ^in  Eichen-  und  Ulmenwäldern,  wo  sie  an  den  Bäumen 
mit  ihrem  oft  dicken  Stamme  bis  30'  hoch  klimmt.  Ober- 
halb der  Sungari-Mündung  fand  ich  auf  meiner  Rückreise 
den  11.  September  in  einem  Laubwalde  fast  sämmtliche 
Bäume  von  Weinlaub  umschlungen  und  mit  grossen  reifen 
Trauben  bedeckt.  Die  Frucht  schwarzblau;  die  grösste  Beere 
5 " Durchmesser,  von  Consistenz  der  festen  Sorten  und  nicht 
sehr  saftreich;  das  Weinlaub  um  diese  Zeit  gelb  und  roth  ge- 
färbt. 
Bei  den  Mandshu  ; puthdu,  den  Dauren  unterhalb  der  Stadt 
Aigun:  motschurtu , oberhalb  des  Chingan- Gebirges:  mötschu, 
von  der  Sungari-  bis  Ussuri -Mündung:  möischiktd , bei  den 
Goldi  unterhalb  der  Ussuri-Mündung  beim  Dorfe  Tolgö:  muk- 
$ultd.  (Fortsetzung  folgt.) 
IT  O T E S. 
6.  Quelques  remarques  À l’occasion  d’une 
Note  sous  le  titre:  Sur  les  sommes  de  diviseurs 
des  nombres , publiée  par  M.  J.  Liouville  dans 
son  Journal  de  Mathématiques1);  par  V. 
B0UN1AK0WSKY.  (Lu  le  30  janvier  1857.) 
M.  Liouville,  dans  la  Note  que  nous  venons  de  citer, 
après  avoir  rappelé  la  formule  connue  d’Euier 
/ \n)  = J (n  — 1 ) -+- J\n  — 2)  — J\n  — 5)  — J (n  — 7)  -+- 
qui  exprime  une  relation  remarquable  entre  les  sommes  de 
diviseurs  des  nombres,  communique  une  autre  formule,  lout- 
à-fait  différente  de  la  précédente,  nommément 
(/%)  <■  E £ n — 5 m Jy’(2rt  -1  1 — m2  — m)  = 0. 
Dans  cette  expression  le  signe  E se  rapporte  aux  valeurs 
successives  0, 1,2,  3....,  de  m,  sous  la  condition  de  s’ar- 
rêter à l'instant  où  l’on  cesserait  d’avoir 
2n  -i  1 — m2  — m y>  0. 
M.  Liouville  termine  sa  Note  en  disant  qu’il  ignore  si 
quelqu’un  avait  déjà  donné  la  formule  (A).  A cette  occasion 
qu’il  me  soit  permis  de  rappeler  deux  de  mes  Mémoires,  dont 
l’un,  sous  le  titre:  Recherches  sur  différentes  lois  nouvelles  re- 
latives à la  somme  des  diviseurs  des  nombres , a été  présenté 
à l’Académie  Impériale  des  Sciences  de  St.-Pétersbourg  le 
11  Février  184-8  2),  et  l’autre:  Nouvelle  méthode  dans  les  re- 
cherches relatives  aux  formes  quadratiques  des  nombres,  le  7 Dé- 
cembre 184-9  3).  Dans  le  premier  de  ces  Mémoires,  celui  de 
1)  Deuxième  Série.  — Tome  1er.  — Septembre  1856. 
2)  Mémoires  de  l’Académie  Impériale  des  Sciences  de  St. -Pélers- 
bourg,  VI  Série,  Tome  quatrième,  1850,  page  259. 
3)  Même  publication,  Tome  cinquième,  1850,  page  303. 
1848.  je  donne  plusieurs  relations  curieuses  qui  existent  entre 
les  sommes  de  diviseurs  des  nombres;  parmi  ces  relations  se 
trouve  la  formule  (A)  de  M.  Liouville  (page  263).  Voici 
encore  quelques  autres  résultats  auquels  je  suis  parvenu  dans 
ce  travail 
^1)  (l2  — 2 n) J 2n  -+-  (32  — 2n  — 1 . 2)f(2n  —1.2) 
h-  (52  — 2n  — 2.3)/(2n  -2.3) 
H-  (72  — 2 V—  374)  f[2n  - 3 . 4)-+-  . . . . = 0 
(3)  fn-t-f{n  — Al)+f(n—A2)-+-f(n—A.j)-+-f[n—Ai)-t- .. 
= * [/v  - r-^  - r-=p  - r-=£  -•  • •] 
pour  n impair. 
(3)  fn-h-f(n  — Al)-i-/(n—A2)+/{n—À3)+f(n—Ai)-+-.... 
. r en  en  — Ao  rn  — A 4 rn  — A7 
pour  n pair. 
(4)  y» -H y2-4/ï)/(n-2)-i-/3/'(»»-4)-+-( /4-4/2)y(n-6) 
-h/5 /(«  — 8)  h-  ( y’6  — 4/3)/  (n  — 10)  -H  ...  . 
pour  n impair. 
Dans  ces  formules  les  nombres  triangulaires  1,  3.  6,  10 
sont  respectivement  représentés  par  A, , â2,  A3,  Ai De 
plus,  comme  les  nombres  affectés  du  signe  / n'ont  que  des 
valeurs  positives,  la  totalité  des  termes  de  chacune  des  for- 
mules sera  limitée.  Or,  je  fais  voir  que  lorsqu’on  sera  arrivé 
dans  les  équations  (1),  (2)  et  (3)  à l’expression  0,  il  faudra 
la  remplacer  par  y*  Quant  à l’équation  (A),  le  dernier  terme 
de  son  premier  membre  sera  toujours,  évidemment,  multiplié 
par  / 1 = 1. 
Dans  le  second  Mémoire,  présenté  en  1849,  et  mentionné 
plus  haut,  j’ai  pris  pour  point  de  départ  les  formules  démon- 
trées dans  le  premier.  En  les  combinant  avec  quelques 
autres  propriétés  de  la  fonction  numérique  /n,  et  en  me  ba- 
sant de  plus  sur  des  propositions  connues  de  la  Théorie  des 
Nombres,  entr’autres  sur  la  loi  de  réciprocité  de  Legendre, 
je  suis  parvenu  à plusieurs  théorèmes  nouveaux  sur  les 
formes  quadratiques  des  nombres.  Pour  en  donner  un  exemple, 
je  citerai  le  théorème  suivant,  qui  m’a  paru  alors  assez  re- 
marquable: 
«Théorème.  Tout  nombre  premier  16  äh- 7 est  néces- 
sairement de  la  forme  2uz  -+-  Qv\  Q représentant  un  nombre 
premier  8 e h-  5. 
"Cette  proposition  établit  une  relation  d'égalité  très  simple 
entre  deux  nombres  premiers,  ce  dont  on  ne  trouve  point 
d’analogue,  autant  que  je  le  sache,  dans  les  théorèmes  connus 
de  la  théorie  des  nombres  La  loi  de  réciprocité,  découverte 
par  Legendre,  ne  donne  qu’une  relation  de  congruence  entre 
deux  nombres  de  cette  nature.»  (Mémoire  cité,  page  320.) 
