ÆZSù.  536.  BULLETIN  Tome  XV. 
LA  CLASSE  PHYSICO -MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SMIT.PËTËR§BOIIR». 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice,  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidoff  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume , est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements , et  de  trois  thalers  de  Prusse  pour  l’étranger.  . 
On  s’abonne  à St.-Pétersbourg  chez  MM.  Eggers  et  Cie.,  libraires,  commissionnaires  de  l’Académie,  Nevsky-Prospect,  No.  1 — 10.  Les  abonnés 
des  gouvernements  sont  priés  de  s’adresser  au  Comité  administratif  (KÔMHTert  Ilpais.ieili/i) , Place  de  la  Bourse,  avec  indication  précise  de  leurs 
adresses.  L’expédition  des  numéros  se  fera  sans  le  moindre  retard  et  sans  frais  de  port.  Les  abonnés  de  l’étranger  s’adresseront,  comme  par  le 
passé,  à M.  Léopold  Voss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  MÉMOIRES.  14.  Sur  la  série  de  Lagrange.  Tchébichev.  NOTES.  9.  Sur  la  valeur  de  l'intégrale  définie 
oo  —ax  (a;2-»-  bx)  Y — 1 
fee  dx.  Popov,  lû.  Sur  deux  cristaux  de  Topaze.  Kokcharov.  CORRESPONDANCE.  1.  Lettre  sur 
les  animaux  hibernants.  Radde.  BULLETIN  DES  SÉANCES.  CHRONIQUE  DU  PERSONNEL. 
MÉMOIRES. 
14.  Sur  la  série  de  Lagrange;  par  P.  TCHÉ- 
BICHEV. (Lu  le  30  janvier  1857.) 
§ 1.  L’intégration  par  parties  donne  la  série  de  Taylor  et 
le  terme  complémentaire  avec  une  extrême  facilité;  que  man- 
que-t-il à cette  méthode  pour  donner  d’une  manière  ana- 
logue la  série  plus  générale,  due  à Lagrange?  Toutes  les 
méthodes  d’après  lesquelles  on  parvientàla  série  de  Taylor 
sont  plus  ou  moins  susceptibles  de  donner  la  série  de  La- 
grange; la  méthode  d’intégration  par  parties  est  la  seule  qui 
présente  une  exception.  En  cherchant  à combler  cette  lacune, 
nous  avons  reconnu  qu’il  ne  s’agissait  que  de  donner  une 
certaine  extension  à la  méthode  de  réduction  des  intégrales, 
connue  sous  le  nom  d’intégration  par  parties , extension  qui 
parait  être  utile  dans  plusieurs  autres  cas. 
L’intégration  par  parties  se  réduit  à l’identité 
fd(x)  i)>  (x)  dx  = 0 [x)fip  (x)  dx  — fQ'{x)  [f ip  [x)  dx]  dx. 
Si  l’on  ne  séparait  point  les  facteurs  du  produit  6{x)  ip[x),  on 
pourrait  écrire  cette  identité  de  la  manière  suivante; 
fQ[x)  ijj[x)  dx  = fQ[x")  ip{x')  dx'  — J -J  ° — - --  --  dx , 
en  supposant  qu’on  supprime  les  accents  de  x'  et  x"  après 
avoir  fait  les  opérations  qui  se  rapportent  exclusivement  à 
ces  quantités. 
Or,  en  représentant  sous  celte  forme  l’intégration  par  par- 
ties, on  reconnaît  sans  peine  que  rien  ne  s’oppose  à ce  qu’on* 
l’applique  au  cas,  où  le  produit  0[x  )ip[x  ) est  remplacé  par 
une  fonction  quelconque  de  deux  lettres  x'  et  x" . C’est  là 
le  changement  nécessaire  pour  qu’on  puisse  en  tirer  la  série 
de  Lagrange  par  le  même  procédé  qui  conduit  à la  série  de 
Taylor. 
L’énoncé  de  cette  réduction  peut  se  faire  en  ces  termes: 
Si  l’on  convient  de  ne  distinguer  x et  x de  x que  dans  les 
opérations  qui  se  rapportent  exclusivement  à x ou  x,  on  a 
(S)  f f(x',  x")  dx  — f f[x$  x ")  dx  — y* d^X(ix"  ^ dX  dx- 
Il  n’est  pas  difficile  de  remarquer  que  la  réduction  des 
intégrales,  dont  nous  venons  de  parler,  ne  diffère  que  par 
son  énoncé  de  celle  que  M.  Bertrand  a donnée  dans  le 
VIII  Tome  du  Journal  de  Mathématiques  pures  et  appliquées 
de  M.  Liouville. 
Pour  montrer  la  manière  de  se  servir  de  cette  réduction, 
supposons  qu’il  s’agisse  de  réduire  l’intégrale 
J\cosx  -4-  ex)  dx. 
On  commencera  par  mettre  l'expression  cosx  -+-  e r sous  la 
forme  d’une  fonction  de  deux  lettres  x,  x , ce  qu’on  peut 
faire,  évidemment,  de  différentes  manières.  Si  l’on  s'arrête 
au  cas,  où  Ton  donne  un  accent  à x sous  le  signe  de  cosinus 
et  deux  accents  à l’exposant  de  e,  l’expression 
devient 
