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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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cos  a?  -l-e  , 
et  alors,  d'après  la  formule  (1),  on  aura 
f{cosx,-t-exl>)dx=/(cosx'-t-exl')dx' — — - — dx 
= sin  x -t-  xex " — fxex " dx, 
ou,  en  supprimant  les  accents, 
J~ (cos  x -H  ex)  dx  = sin  x -t-  xex  — yîce*7  ûx.. 
En  intégrant  par  rapport  à x ’ nous  avons  pris  pour  con- 
stante zéro;  mais  rien  n’empêche  de  prendre  une  valeur  quel- 
conque, qui  peut  être  même  une  fonction  de  x . Pour  s en 
assurer  on  n’a  qu’à  remarquer  que  la  formule  (1),  étant 
différentiée  par  rapport  à x,  se  réduit  à cette  identité 
r ,r  / //>  dff{x',x")dx'  dff{x' x")dx' 
f(x,x  ) = f(x,x  )-H  — ^ * dx"~=" 
§ 2.  Passons  maintenant  à la  démonstration  de  la  série  de 
Lagrange.  Nous  supposerons  qu’on  ait 
X — a = 7]<p  [X) , 
et  qlie  l’on  cherche  le  développement  de  F ( X)  suivant  les 
puissances  croissantes  de  r\. 
Imitant  la  marche  ordinaire  qui  mène  à la  série  de  Tay- 
lor, mettons  la  valeur  F [X]  sous  la  forme 
F(X)=F(a)-*-  fXF\x)dx. 
J a 
Puis,  remplaçant  dans  la  dérivée  F'  [x)  la  lettre  x par  x", 
nous  trouvons  d’après  la  formule  (t) 
fF'[x)dx,  ou  fF'{x")dx—  fF\x")  dx  ~ dx 
W , "s  , ' n fdF'ix")  (x'+C) 
= F ( x ){x  -+-£)  — / ^ dx, 
ce  qui  donne 
en  prenant 
C = — a — rjcp  [x  ). 
Remarquons  en  passant  que  cette  valeur  de  C présente 
une  grande  analogie  avec  celle  que  l’on  emploie  dans  le 
même  cas,  en  cherchant  la  série  de  Taylor. 
Si  l’on  applique  de  nouveau  la  formule  (1)  à l’intégrale 
rdF\a •!')  (x'  a — T,cp ( x ")) 
J w ix’ 
on  parvient  à la  réduction 
fdF'ix")  ix' — a — rtcp  (x")) 
dx  — 
• dF'  ix")  ix' — a—tjrp  {x")) 
' fd 
dx  -J  - 
d dF’jx")  jx—  a— w(x"ïïdx' 
J dx" 
dx 
1 dF’(x'l)i^  — a — tjrplx"))2  1 fd2F'ix")ix' — a—rjcpix"))2 
t rd 
2 J- 
d ix")2 
dx. 
Il  ne  reste  qu’à  poursuivre  la  même  marche  et  l’on  obtient 
successivement 
/ dzF'jx ,f)  jx'—a  — n<p  (a:"))2 
J % dix "Ÿ 
1 dzF\x")  (a/ — a — 7jrp{x"))z  1 rd3  F\xi')ix'—a — T]fp[x")) 
dix" y 
1 rd 
~ 3 J~ 
"d^F'ix")  ix'—a  — Tjrp  (x")'y 
d ix'') 3 
dix "Ÿ 
dx 
1 d3  F'ix'Mx' — a — jjp(x"))4  1 rd4  F'(x'')ix'  —a — s ig>(x")) 
4 d ix")4 
et  ainsi  de  suite. 
-K- 
d ix")4 
dx. 
dx. 
La  substitution  de  ces  valeurs  donne  pour  l’intégrale  in- 
définie 
fFr  (a?)  dx 
cette  expression 
j'F'ix)  dx  = F/ ix")  (x  —a — rjç {x")) 
1 dF'(x'/)ix' — a — Tjcp{x''))2  \ dz  F'ix")[x")ix' — a — 1 yp(x"))s 
2 dx"  ~*~2.3  dix")3 
(—  i)n  1 dn  1 F' ix")  ix—a—T/cp  ( x"))n 
. . . . . -H  2.3.  %n  ,dix")n 
(-  1 Y‘  fànF\x")  ix'-  a-W  ix"))n  J 
ïlTTnJ d&T x 
En  passant  à l’intégrale  définie 
^ F\x)dx, 
hors  du  signe  d’intégration  deviennent 
rf  dn  lF'ia)<pnia) 
2.3..  n dan  1 
Ensuite,  pour  x = x =x  = X,X  étant  racine  de  l’é- 
quation 
X — a =rj(p  [X), 
ces  termes  se  réduisent  tous  à zéro  à cause  du  facteur 
x — a — rjcp  [x  ) qui  y reste,  malgré  toutes  les  différentia- 
tions, et  qui  s’annule,  en  vertu  de  l’équation  précédente,  pour 
x =x  —X.  Donc 
fX„>,  ■ rf  dF  (<zW(a)  f d2F(a)ç53(a) 
if1  dn~1F'ia)<p"ia) 
2 .3.  • .n  da.n~ 
(-  t)n  f dnF’ ix")  ix'-  a-7i<p  [x"))n 
(-  n"  r 
2 3...«  Jn 
dix")n 
dx, 
et  par  conséquent 
