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de  l’Académie  de  Saint  ■ Pétersbourg. 
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F(X)=F(a)~ t-  JX F [x)dx=F(a)-t- î]F' (a)  cp(a)  -+- 
rj3  d2F/ (a)  <p3(a)  ' Tjn  dn  1 F' (a)cpn(a) 
H-273  dcfi  *"*  ‘ W*“  2.3..  n do"—1 
X 
. (—1)"  r dnF\x"){x—  a— rjcp(x"))n 
+ ÏJ^7nJa 
Ainsi  l’on  parvient  à la  série  de  Lagrange 
FlJ,=F(aH-,F'S»)cf  (»)  *&%**., 
j]n  dn  1 F (a)  ç>"  (a) 
2 3 .n  da“  1 ’ 
et  l’on  voit  que  le  terme  complémentaire  a pour  valeur 
X 
(—  t)“  f dnFf(x")  (x'—a  — i i<jp[x"))n  j 
2 3. . .»  4 ’ 
où  après  avoir  fait  les  différentiations  par  rapport  à x"  on 
supprimera  les  accents  de  x et  x . Cette  valeur  peut  être, 
évidemment,  présentée  sous  cette  autre  forme: 
r 
!.3  . .n  J ,, 
dn  F’ (x-t-i)  ( ijcp(x-t-i)-t-a  — x)n 
dVl 
dx, 
en  faisant  i — o après  les  différentiations. 
D’après  ce  que  vous  venons  de  voir  la  formule 
F{X)=  F(a)-+-r]F  ( a ) <p[a) -t-  — 
if  dF(a)cpz(a)  ?/3  d2 F'(a)  <p3 (a) 
2.3. 
cia  2.3  da2 
rf1  dn  1 F' (a)  <pn(a) 
dan  1 
( — 1)”  r dnF\af)  (x—a—Tjf  (x"))n 
+ ™-7nJa iW “X 
subsiste  également  pour  toutes  les  valeurs  de  X qui  véri- 
fient l’équation 
X—a=r]cp  (X). 
Mais  les  premiers  termes 
W i \ i \ ï2  dF\a)<p2(a ) rj3  d2 F' (a)  q>3  (a) 
F(a^,F  + V - 
tjn  d n — 1 F' (a)  cpn  (a) 
2.3.  .n  dan—1 
■de  cette  expression,  qui  constituent  le  développement  de  F[X) 
d’après  la  série  de  Lagrange  jusqu’à  la  (»-t-  !)e  puissance 
de  7y,  ne  donnent  effectivement  sa  valeur,  exacte  aux  quantités 
près  du  même  ordre,  que  si  le  terme  complémentaire 
X 
( — 1 )”  ç dnF(x")  ( x'—a  — 7]<p [x"))n 
2.3..  .t»4  d (x")n 
X 
1 r dnF(x-t-i)  (v<p(x-t-i\-t-a  — x\n 
= Ï3777n  /„ 5* Jx 
devient,  pour  77  petit,  de  l’ordre  rfl+x  ou  d’un  ordre  supé- 
rieur. Or,  il  est  facile  de  remarquer,  que  cela  a lieu  néces- 
sairement, tant  que  X est  celle  des  racines  de  l’équation 
X — a = 779  (X) 
qui  se  réduit  à a pour  r]  = o-,  car  dans  ce  cas,  en  vertu 
de  l’équation 
X — a = 7}<p(X), 
la  différence  X — a est  une  quantité  de  l’ordre  77,  et  par  con- 
séquent, l’intégrale 
X 
/ 
dP  F’ (x-t-i)  (Tjtp  (x-t-i-t-a — x,r 
di” 
dx. 
où  x — a reste  compris  entre  0 et  X — a,  a tout  au  plus 
une  valeur  de  l’ordre 
§ 3.  Le  terme  complémentaire,  que  l’on  vient  de  trouver, 
permet  d’assigner  la  limite  du  reste  dans  les  développements 
construits  d’après  la  formule  de  Lagrange  et  arrêtés  à un 
terme  de  rang  quelconque.  Nous  allons  en  donner  des  exem- 
ples sur  les  développements  bien  connus  de  l'anomalie  excen- 
trique et  du  rayon  vecteur  selon  les  puissances  croissantes  de 
V excentricité. 
Pour  le  développement  de  l'anomalie  excentrique  il  faut 
poser  dans  nos  formules 
F(x)—x , ç5(&)  = sinÆ, 
en  supposant  que  X désigné  l'anomalie  excentrique , a l'anomalie 
moyenne  et  rj  l' excentricité. 
Dans  ce  cas  l’équation 
X — a = T}rp  (X) 
devient 
X — a = r]  sin  X, 
et  le  terme  complémentaire  du  développement  de  F(X)  = X, 
prolongé  jusqu’à  77“,  s’exprime  ainsi: 
X 
1 f 
2.3  ...»A 
d”  (rj  sin  (x-t-i)  -t-a  — x)r‘ 
dx, 
en  prenant  i==o. 
Or,  comme  l’expression 
1 dn(rj  sin  (x-t-î)-t-a  — x)*1 
2 3...«  df1 
pour  i = o,  n’est  que  la  valeur  de  l’intégrale  définie 
py — 1 / 
1 r27t  li] sin  (x-t-re  )-t-a — x\n  nPe- 
2 TT  4 \ r / 
dp, 
r étant  une  quantité  quelconque,  ce  terme  complémentaire 
peut  être  mis  sous  cette  forme; 
X 2 n pY—  1 
rj  sin  (x-t-re  )- 
i -JM 
-npV- 
dpdx. 
