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Bulletin  pfiysico  - mathématique 
Pour  assigner  la  limite  que  cette  expression  ne  peut  sur- 
passer, nous  allons  chercher  la  plus  grande  valeur  que  peut 
avoir  le  module  de 
pY—  1 
[77  sin  [x  -1-  re  ) 4 -a  — x]z 
pour  x compris  entre  a et  X,  racine  de  l’équation 
X — a = T]  sin  X, 
ou,  ce  qui  revient  au  même,  pour  a compris  entre  x — rçsina; 
et  x. 
En  dénotant  par  R le  module  de  cette  expression,  l’on 
trouve 
pY  — 1 — pY — 1 
/?=[77sin(;r-4-re  )-wz— a:]  \i]s\n[x-i-re  )-t-a — rc], 
d’où,  en  cherchant  la  valeur  de  on  a 
da2 
<PR 
d^R 
La  valeur  de  étant  positive,  on  conclut  que  le  maxi- 
mum de  R ne  peut  avoir  lieu  que  pour  les  valeurs  limites 
de  a,  savoir: 
a = x, 
a = x — - 77  sin  x. 
Or  pour  a — x la  valeur  de  R devient 
pY  — 1 — pY — 1 
T]  sin  (x-t-re  ) . 77  sin  [x  4-  re  ), 
ce  qui  se  réduit  à 
„2 
Y tcos  (2r  sin pV—  1)  — cos  (2a?  -+-  2r  cos  p )]  = 
2rsinp  — 2rsinp 
*lz  Te  e ~i 
Yl 2 cos  (2a;  4- 2 r cosp)  U 
et  la  plus  grande  valeur  de  cette  expression  a lieu,  évidem- 
ment, pour  sinp  = l,  cos  (2a?4-2r  cosp)  = — 1,  ce  qui  donne 
pour  le  maximum  de  R cette  valeur: 
2r  — 2r  r —r 
?2re-»-e  , p +e  “l2 
•aL — ^ L — J • 
En  prenant  pour  a son  autre  valeur  limite  x — 77  sin  x , on 
trouve  que  R devient 
pY — 1 - PY- 1 
»?2[sin(a:4-re  ) — sin  x]  [sin  (x  4-  re  ) — sin  a;], 
ce  qui  se  réduit  à 
, r /r  pY—i  —pY—i 
ir]2cos  e jsin^— e j cos^a;  4— -e  J 
/ r —pY—  1 
/ r Py-1\  , r -PV~Y 
2 cos  (æ  y e Jcos\x-^—e 
= cos  (rsinpV  — 1)  4-cos  (2a;4-r  cosp) 
r sin  p — r sin  p 
= — ~ 1-  cos  (2  x 4-  r cosp), 
,,  pv-i  -p*'-», 
2sinUe  )™(t*  ) 
= cos  (r  sinpV — 1)  — cos  (r  cosp) 
rsinp  — rsinp 
e -t-e  , . 
= cos  (r  cosp), 
on  trouve  pour  R cette  valeur: 
R = tfSSl , 
où 
rsinp  — rsinp 
S — cos  (r  cosp), 
rsinp  — rsmp 
■ cos  (2a; 4 -r  cos  p). 
On  parvient  facilement  à reconnaître  que  cette  valeur  reste 
toujours  au  dessous  du  maximum  de  R que  nous  venons  de 
trouver  pour  x = a. 
En  effet,  en  cherchant  les  valeurs  de  p,  pour  lesquelles 
l’expression 
S = 
rsinp  — rsmp 
e -+-e 
— COS  (r  COS  p) 
peut  devenir  maximum  ou  minimum , on  trouve  l’équation 
(*) 
rsinp  — rsinp 
e — e 
cosp  — sin  (r  cosp)  sinp  = 0. 
Cette  équation  se  vérifie  évidemment  quand  on  fait 
sinp  = 0, 
ou 
cos  p = 0, 
et  hors  ces  cas,  elle  ne  peut  être  satisfaite;  car,  tant  que 
sinp  est  différent  de  zéro,  on  a 
rsinp  — rsmp 
)>  r2  sin2p, 
et  comme 
sin2  (r  cosp)  < r2  cos2p, 
cela  suppose 
rsinp  — rsinp 
C a.i.Vco.1»  )'>lan^- 
tandis  que  l’équation  (2),  pour  cosp  différent  de  0,  donne 
et  comme 
