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de  IMcadémie  de  Saint  - Pétersbourg« 
rsmp  — rsinp 
tangp. 
2 sin  (r  cos  p) 
Donc,  les  maxima  et  les  minima  de  l’expression 
rsinp  — rsinp 
S = - 
— cos  (r  cosp) 
ne  peuvent  avoir  lieu  à moins  qu’on  n’ait 
cos  p = o, 
ou 
sin  p — o. 
D’après  cela,  en  remarquant  que  l’expression 
rsinp  — rsinp 
e -+-  e 
2 cos  (r  cos  p) 
devient 
r — r 
e H-e 
— 1 
2 2. 3. 4^2.3. 4. 5.6  
4 , , r2  r*  r 6 
1 — cos  (r)  = — — 1 : 
/ 2 2.3.4  2. 3. 4. 5. 6 * 
selon  qu’on  prend  co sp  = o ou  sinp  = o,  et  que  la  pre- 
mière valeur  surpasse  la  seconde,  nous  concluons  que  c’est 
cette  valeur  qui  est  le  maximum  de  l’expression 
rsinp  — rsinp 
£ -h  e 
— 2 cos  (r  cosp). 
Mais  comme  l’autre  facteur 
rsinp  — rsinp 
■V 
cos  ( 2x  -i-  r cosp) 
de  la  valeur  de  R~rjzSS1  ne  peut  être  évidemment  au 
de 
r — r 
e H—  e 
il  suit  que  cette  valeur  de  R ne  peut  surpasser  la  limite 
et,  par  conséquent,  qu  elle  est  inférieure  à 
•* 
ce  qu’il  s’agissait  de  prouver. 
Ainsi  l’on  parvient  à reconnaître  que  la  plus  grande  valeur 
que  peut  avoir  le  module  de  l’expression 
pY—  1 
[îj  sin  \X  -+-  re  )~t~a  — œ]2, 
pour  x compris  entre  a et  X,  racine  de  l’équation 
x — a = rj  sin  x, 
est  celle-ci: 
Il  en  résulte  que  l’intégrale 
12*  pY—  1 . 
^sin  (x  -I-  re  )-» -a  — *\”  npV  * 
WS1 
dxdp. 
qui  désigne  le  reste  de  la  série  en  question,  est  au  dessous 
de  cette  valeur: 
X 2*r  r —r  „ 
Cette  limite  du  reste  sera  plus  ou  moins  grande  selon  la 
valeur  de  r.  Mais  comme  r est  tout-à-fait  arbitraire,  rien 
n’empêche  de  le  choisir  de  manière  que  la  limite 
<*-<>*■(■ ¥)" 
devienne  la  plus  petite  possible,  et,  par  conséquent,  la  plus 
proche  de  la  vraie  valeur  du  reste.  On  y parvient,  en  pre- 
nant pour  r une  valeur  qui  rende  minimum  l’expression 
\ 2r  / 
ou,  ce  qui  revient  au  même,  maximum  celle-ci: 
2r 
En  dénotant  par  k le  maximum  de  cette  expression,  on  aura 
pour  la  limite  du  reste  la  valeur 
<*-' “>(!)" 
et  comme  la  différence  X — a,  en  vertu  de  l’équation 
X — a = 7]  sin  X, 
ne  surpasse  pas  t],  on  peut  prendre  pour  cette  limite  l’ex- 
pression suivante: 
'(i)’’  - ‘(î)""'' 
Quant  à la  valeur  de  k,  on  trouve  que  le  maximum  de 
