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Bulletin  pîiysico.  mathématique 
se  réduit  à 
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lieu  pour  r,  racine  de  l’équation 
d / -JJ—, \ 
r —r  r — r 
[e  -t-  e — r (e  — e )]  = 0, 
et  que  la  valeur  approchée  de  ce  maximum  est  0,66274.  Donc 
k =0,66274. 
§ 4.  Pour  trouver  la  limite  du  reste  dans  le  développement 
du  rayon  vecteur,  on  prendra 
F{x)  = 1 — t?  cos  x,  <p  ( x ) = sin  x, 
en  supposant  toujours  que  X désigne  l'anomalie  excentrique, 
a l'anomalie  moyenne  et  ^ — V excentricité. 
Ces  valeurs  de  F[x)  et  cp  (x),  en  s’arrêtant  dans  la  série 
de  Lagrange  au  terme 
Vn  dn  1 F\a)  fpn(a) 
2.3  ...»  da,n  1 * 
donnent  pour  le  reste 
J 
i f dn  [t]  sin  (æ  -+-  i)  (r/  sin  (, x -+-  i ) ■+■  a — x)v' 
dx , 
où  i — o après  les  différentiations.  En  suivant  la  même  mar- 
che que  dans  le  paragraphe  précédent,  ou  mettra  cette  ex- 
pression sous  la  forme 
12^  pY—i  pY-  1 v . 
î r r ijs\a{x-t-re  ) (^sin(x-^re  )-i -a—x)n~npv  d ^ 
2 «Uo  r"  e p x. 
On  commencera  la  recherche  de  la  limite  supérieure  du 
reste,  ainsi  transformé,  par  le  calcul  de  la  plus  grande  valeur 
que  peut  avoir  le  module  de 
pY  — 1 pY — i 
r ; sin  ( x-t-re  ) (j]  sin  ( x-\-re  ) + a-  x)n 
pour  x compris  entre  a et  X , racine  de  l’équation 
x — a — rj  sin  a:. 
Or,  nous  venons  de  trouver  dans  le  paragraphe  précédent, 
que  pour  ces  valeurs  de  x le  plus  grand  module  de  l’ex- 
pression 
pY—  1 
[r/  sin  (x  -+-  re  ) -+-  a — x]z 
est 
et  que  ce  module  n’a  lieu  que  pour  x — a,  et  par  consé- 
quent, dans  le  cas  où  l’expression 
pY~  l 
[r]  sin  (a;  -i-  re  ) -t -a  — x]2 
pY—  1 
[t]  sin  (x  -t-  re  )]2. 
Donc,  la  valeur  i f 
est  la  limite  des  modules  de 
chacune  de  ces  deux  expressions 
pY — i 
pY-i 
ar]2,  [tj  sin  (x  h-  re  )]2. 
[ri  sin  (, x re 
D’où  il  suit  que  le  module  de 
pY—  1 pY—  1 
rj  sin  ( a H-  re  ) [r]  sin  (x  -t-  re  ) -+-  a — — x\n 
ne  peut  surpasser 
1 2 V 2 / 1 \ 2 / 
et  par  conséquent,  la  valeur  de  l’intégrale 
z2tt  pY—i  pY—  t _ y 
i r /*»sin(a:-i-re  ) {ysm(x-\-re  )-t-a — x)n  n‘3V  ! 
*IJi — - — ***• 
qui  est  le  reste  de  la  série  en  question,  doit  être  au  dessous 
de  celte  limité: 
X 2tc 
rjn-y-X 
m 
1 /e  -i-  e \ ’ 
dpdx=  (X-  a)  ( 2 -) 
Cette  limite  s’approche  le  plus  près  de  la  vraie  valeur 
du  reste,  quand  on  prend  pour  r la  valeur  qui  la  réduit  à 
son  minimum,  ce  qui  a lieu  pour  r déterminé  par  l’équation 
(•-!-«  )]  = #• 
n-+-  1 /e -+- 
âr«-*-1'  [ î 
Mais  on  n’augmente  pas  notablement  cette  valeur,  en  pre- 
nant pour  r racine  de  l’équation 
-e  ) r 
— e =0, 
qu’on  trouve,  en  faisant  dans  l’équation  précédente  n infi- 
niment grand.  Avec  cette  valeur  de  r l’expression- 
se  réduit  à la  quantité  que  nous  avons  désignée  par  k , et 
alors  l’expression  trouvée  de  la  limite  du  reste  devient 
r(X-«)(|g- 
