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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg:. 
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De  plus,  comme  la  différence  X — a ne  surpasse  pas  77,  on 
peut  remplacer  cette  limite  par  celle-ci: 
Les  limites  que  nous  venons  de  trouver  pour  le  reste  du 
développement  de  l'anomalie  excentrique  et  du  rayon  vecteur 
seraient  notablement  diminuées,  si  dans  l’évaluation  de  la 
limite  du  module  de 
pY — l 
[77  sin  ( x-\-re  ) + a — x]z, 
au  lieu  de  remplacer,  comme  nous  l’avons  fait  dans  le  § 3, 
les  expressions 
2rsinp  -- 2rsinp  rsinp  — rsinp 
rsinp  — rsinp 
cos  (r  cosp), 
pour  toutes  les  valeurs  de  p,  par  leurs  maxima 
2r  — 2r  r — r r — r 
e -+-  e . e-t-e  . e-t-e 
— 2 — -1 — *-'•  '• 
on  tenait  compte  de  leur  diminution,  quand  ship  s’approche 
de  zéro.  Mais  malgré  cette  hypothèse  défavorable,  les  limites 
trouvées  suffisent  pour  montrer  clairement  que  les  dévelop- 
pements de  l'anomalie  excentrique  et  du  rayon  vecteur , selon 
les  puissances  croissantes  de  V excentricité,  sont  toujours  con- 
vergents, si  la  valeur  de  l’excentricité  est  inférieure  à la  limite 
k = 0,66274.  C’est  ce  que  Laplace  a trouvé  le  premier  et 
ce  que  M.  Cauchy  a démontré  par  une  méthode  très  ingé- 
nieuse. Ces  limites  suffisent  aussi  pour  prouver  que  dans  ces 
développements  l'erreur  est  toujours  au  dessous  du  rapport  de  l'ex- 
centricité à 0,66274,  élevé  an  degré  égal  au  nombre  des  termes 
qu'on  retient. 
On  s’en  assurera,  si  l’on  remarque  que  dans  les  expres- 
sions 
que  nous  avons  trouvées  pour  ces  limites,  les  facteurs  k et 
kr  sont  inférieurs  à 1;  car  la  valeur  de  k est  0,66274  et  r, 
racine  de  l'équation 
r — r r — r 
e-t-e  — r(e — e ) = 0, 
est  au  dessous  de  1,2.  — En  supposant,  comme  nous  l’a- 
vons fait,  que  dans  ces  développements  on  arrête  la  série 
de  Lagrange  au  terme 
1 d" — 1 F'  (a)  ç>"  (a) 
2.3,.  n dan — 1 ’ 
on  trouve  n -t-  1 ou  n -+-  2 termes , selon  qu’il  s'agit  du 
développement  de  l'anomalie  excentrique  ou  du  rayon  vecteur; 
lar  dans  le  premier  cas  on  prend 
F(x)  — x, 
et  dans  le  second 
F{x)=  1 — 77  cos  x, 
ce  qui  donne  un  terme  de  plus. 
§ 5.  Dans  le  cas  de  plusieurs  équations  simultanées  de 
la  forme 
X-a  = î]<p  (X,  F,  Z....), 
Y—b  = fy(X,  Y, Z....), 
Z — c = (oô  (X,  T,  Z . . . .)T 
la  réduction  des  intégrales,  dont  nous  nous  sommes  servis 
pour  trouver  la  série  de  Lagrange,  conduit  directement 
au  développement  des  fonctions  de  chacun  des  inconnus 
X,  F,  Z, ... . selon  les  puissances  croissantes  77,  f . et 
donne  les  restes  de  ces  développements.  C’est  ce  que  nous 
allons  montrer  à présent  sur  les  deux  équations 
C®)  X — a = T}cp  (X,  F), 
m Y-b  = èyj(XrY), 
en  cherchant  le  développement  de  F (X). 
En  suivant  la  marche  analogue  à celle  qui  nous  a con- 
duit à la  série  de  Lagrange,  nous  mettons  la  valeur  cher- 
chée F (X)  sous  la  forme 
(5)  F (X)  =F(a)  -f-  fXf  (x)  dx, 
J a 
et  nous  réduisons  l’intégrale 
/F'  (x)  dx 
d'après  la  méthode  mentionnée , en  remplaçant  F'  (x)  par 
F'  (x').  Ainsi  nous  trouvons 
fFf(x)  =/F'(x")  dx  = F'(x")  C)  dx, 
où  C,  comme  nous  le  savons,  peut  être  une  fonction  quel- 
conque de  x".  On  prendra  pour  C la  valeur 
— a—i]cp{x,y), 
en  supposant  que  y est  une  fonction  de  x déterminée  par 
l’équation 
<<8)  y — b = tp{xf  y). 
Ainsi  pour  la  valeur  de  l’intégrale  indéfinie  J' F1  (x)  dx 
l’on  trouve 
En  passant  à l’intégrale  définie 
fXF’  [x)dx, 
Ja 
nous  remarquons  qu’à  la  limite  x = X,  on  a 
x'  = X,  x'  = X, 
et  d’après  (4)  et  (6) 
