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Bulletin  physico  - mathématique 
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y=Y. 
Or  pour  ces  valeurs  de  x"  et  y l’expression 
F'  ( x ")  (x  — a — ijcp  [x,  y)), 
en  vertu  de  l’équation  (3),  devient  zéro. 
/X  ! 
F(x)dx,  en 
U 
prenant 
xr  = x = a, 
on  trouve  que  cette  expression  se  réduit  à 
— î]F'  ( a)<p{a,y0 ), 
y0  étant  la  valeur  de  y pour  x = a.  — Cette  valeur  de  y , 
en  vertu  de  (6),  sera  déterminée  par  l’équation 
(?)  y0  — b = & («,  î/o)- 
Donc,  d’après  la  valeur  précédente  de  fF’  (x)  dx  il  viendra 
l F’ K)  * = „F»  , (a,  y„)  - Jx< 
ou,  ce  qui  revient  au  même, 
(ï  W ia,  = ^ [a)  9 (a,  b)  - ‘-wti»)  Jx 
\ Ja  ax 
-+-  V fj°  F'  («)  9 y K y)dy. 
En  poursuivant  la  même  marche,  nous  réduisons  les  in- 
tégrales qui  sont  contenues  dans  cette  valeur  de  l’intégrale 
fXF'  [x)  dx. 
L 
dF' ( x ")  (a;'—  a ~ tj<p  (x,  y))  r/2  dF'  (a)  cp*  (a, 
dx"  X 2 da 
l_  f d2Fr  ( x ")  {x' — a — tjcp  (x,  y))* 
2 J a d (®")2 
dx. 
En  réduisant  l’intégrale 
* dF'  (x1)  (x'  — a — Tjf  {x,  y)) 
r 
dx 
dx. 
1 r d2  F'  (x  ) (x'  — a—  t]<p  (x,  y))2 
' dx. 
nous  trouvons 
fdF’  (x")  {x  — a — tjcp  [x,  y))  dF'  (x")  (x'  — a — ijcp  (x,  y))2 
J dx"  2 dx" 
2 / d(x"y 
et  comme  l’expression 
x — a — r\cp  [x",  y) , 
d’après  ce  que  nous  venons  de  voir , se  réduit  à 0 ou  à 
— r\(p  (a,  y0),  selon  qu’on  fait 
f ff  Tr 
x = x = X, 
ou 
x = x"  = a, 
cette  équation  nous  donne 
ou,  ce  qui  revient  au  même 
X 
r. 
dF1  (x")  (x'—  a — rjcp  (x,  y))  . rf  dF' (a)  cp*  (a,  b) 
dx"  2 da 
Vo 
d f F'(a)  <p(a,y)  <p  j(a,y)  dy 
± f'd2F(x")(x' — a — 7]ip{x',y))2  ^ 2_4 
2 J a d {x")*  71  da 
Passant  à l’intégrale 
fy°  F'  (a)  ç>'  (a,  y)  dy, 
Jb  J 
nous  remarquons  que  la  même  méthode  de  réduction,  ap- 
pliquée à l’intégrale 
• fF'ia)  9 y («.  y)  dy, 
nous  donne 
fF'[a ) f y[a,y)dy=fF' {a)y  y{a,y")  dy=F\a)fy{a,.y)  (j+C) 
•_  fdF'  (a)  cp' y (a,  y")  (y'-¥-  C)  ^ 
r- 
dy' 
qui  devient  - 
fF'ia)  <p'y  (a,  y)  dy  = F'  (a)  cp'y  (a,  y")  ( y —b  — Çf'(a,  y')) 
-r 
dF'  (a)  cp' y (a,  y)  (y  — b — gy  (a,  y)  ) 
si  l’on  prend 
dy" 
dy. 
C — — b — tyj  ( a , y 
Comme  l’expression 
y — b — & {a,  y"), 
en  vertu  de  (7),  se  réduit  à 0 pour  y = y"  =y0,  cette  ré- 
duction amène 
fJ°  F' {a)  cp'y  (a,  y)  dy  = F' {a)  cp'b  (a,  b)  {a,  b) 
Va 
r dF 
J h 
dF'  (a)  cp'y  (a,  ij")  (y  —b  — {x,  y,')) 
'b  d'J 
Lorsqu’on  substitue  ces  valeurs  des  intégrales 
X n 
C dF1  (x")(x  — a — ijcp(x,y))  fy0  , , 
J dX’  Jb  F (<Z)  9 J (a>  V)  dy 
dans  l’expression  précédente  de 
fXF'[x)dx, 
■'a 
on  trouve  pour  sa  valeur 
dy. 
