311 
Bulletin  physico  - mathématique 
313 
En  différentiant  la  même  équation  deux  fois  de  suite,  par 
rapport  à A,  on  aura  encore 
00  —hz 
f [sin  (2 z2  -+-  hz)  -1-  cos  (2 z2  -+-  hz)]  e z2dz  = 0. 
*'0 
Mais  il  me  semble  que  ces  résultats  sont  inexacts,  et  cela 
en  vertu  de  la  supposition  vague  y = 00,  pour  z = 00.  Sui- 
vant les  formules  que  je  viens  d’établir,  on  a 
1 =\[tp-aq), 
et,  après  avoir  substitué  les  valeurs  de  p et  q, 
00 
— ax 
f e cos  [x2  -f-  bx) . xdx  = 
V 0 
, 00  , 
1 «2  / n2  „2  \ , — OX 
= — e 2 sin  — — 6 cos  ~jjfe  fiin  ^2dx 
\ -»-/  a*  . n2\ 
— e 2 ( a cos  — -+-  A sin 
2 \ 4 
■6® 
-4^  f e co sx2dx. 
¥ 
Supposons  présentement  x =zV 2,  bV 2 = a~[/ 2 = h;  nous 
f e cos  (2 z2  -I-  Az)  zdz  — 
Jo 
hz  00  , 
s T / . ft*\  <■  . ** 
=r6e  (sinT-cosi -)L‘  “"s1** 
h — / h2 
Ï6 
— fcc 
t/  « • * \ r T **  » 
« rs¥H-smT)/ftS  008 -s*' 
On  voit  donc  que  l’intégrale  du  premier  membre  de  l’é- 
quation peut  diminuer  indéfiniment  avec  A,  mais  elle  n’est 
pas  égale  à zéro  en  général,  comme  cela  résulterait  du  calcul 
de  Poisson. 
De  la  même  manière,  et  à l’aide  de  l’équation 
d 'TJ  ^ ~ T ^ — (P-1-  î)“1-  “2  (P—9)-* — f ’ 
qui,  en  y supposant  a = b,  se  réduit  à 
d2p  -+-  d2q  1 , 
2 
1 )(P-Î), 
on  trouvera 
00 
f [sin  (æ2-i-a£c)  H- cos  (a;2 -4- aæ)]  e x2dx  = 
Jo 
= |a-~*~.3  j e 2 ^cos  — sin-^j  f e s\nx2dx—  (&\n  a-  -+-  cos  y e cos  Æ2cArJ» 
Cette  intégrale  s'évanouissant  par  degrés  insensibles  avec 
a , comme  la  précédente,  n’est  pas  égale  à zéro. 
III. 
Parmi  les  autres  applications  de  nos  formules  on  peut 
indiquer  les  suivantes.  Si  l’on  développe  les  fonctions  sin. 
et  cos.  qui  se  trouvent  dans  les  premiers  membres  des 
équations 
00  00  , 
— fcc 
f cos  {x2  -f -bx)dx=.  f e sin  x2dx 
J O Jo 
CO  CO 
r r ~hx  2 
/ sin  [x2  -4-  bx)  dx  = / e cos  x dx, 
Jo  J 0 
et  qu’on  substitue  les  valeurs  connues 
r , ..  X / n j b 2 . b2  \ 
I cos  x2  cos  bxdx  — — y — (cos  — -4-  sin  — J 
J'  sin  x2  cos  bxdx  =|k  | ^cos  b—  — sin 
on  obtiendra 
fsmx2sinbxdx  = i-Vf. (cos^  H-sin L) — J"  e s\nx2dx 
y*  cosx2s\nbxdx—~^^[^\nb- — cos-^j-i -f  e cosxzdx. 
où  les  transcendentes 
bx 
y e sin  x2dx  et  j'  e cos 
x dx 
doivent  être  régardées  comme  primitives  et  connues  pour 
toutes  les  valeurs  de  b.  Par  exemple,  pour  des  valeurs  très 
grandes  de  b,  on  se  servira  des  séries  convergentes 
/ 
' . , , 2 -S. 5. 6 6.7  8 9.10 
bx 
cos  x2dx  = 
3A  5.6. 7.8 
6 5 H 6® 
f0 ft 
Les  mêmes  équations  étant  présentées  sous  la  forme 
y cos  ~ cos  zxdx  = l/ ~ (cos  z2  -f-  sin  z2) 
