383 
384 
SSulletin  piiysico  » mathématique 
98 j Pinus  Cembra  var.  p.umila.  Pall.,  Maxim.  Amur 
n.  49. 
Kommt  nach  Aussage  der  Orotschonen  und  Maneger  am 
obern  Amur  in  Gebirgen,  besonders  in  der  Gegend  von  Al- 
basin vor.  In  Kisi  brachten  mir  die  Eingeborenen  den  13. 
August  reife  Nüsse. 
Bei  den  Orotscbonen  und  Manegern;  bolgikta. 
99  Pinus  sylvestris.  L.,  Turcz.  Baic.  Dah.  n.  1071. 
An  der  Schilka  ist  dieser  Baum  bis  zur  Mündung  der 
Tschassowàja  seltener  als  Larix  dahurica  und  wächst  auf  deu 
Höhen  der  Thalwände;  von  hier  wird  er  bis  Albasin  hin 
häufiger  und  bedeckt  die  Thalwände  des  linken  Ufers.  Von 
Albasin  bis  zur  Seja-Mündung  nimmt  sie  wieder  die  Kämme 
der  Thalwände  ein,  während  die  mitllern  Regionen  mit  ihr 
und  Larix  dahurica  bedeckt  sind.  Im  Chingan- Gebirge  be- 
deckte er  ebenfalls  die  Kämme  der  Berge.  Am  mittlern  und 
untern  Amur  sah  ich  ihn  nicht. 
100)  Juniperus  davurica.  Pall.,  Maxim.  Amur  n.  51. 
Am  ganzen  Amur  gesehen.  Wächst  an  felsigen  Thalwän- 
den. oft  ganze  Strecken  bedeckend.  Den  31.  Juli  sammelte 
ich  ihn  an  der  rechten  Thalwand,  beim  Churi-bira  mit  fast 
reifen  Früchten. 
Bei  den  Manegern  am  obern  Amur:  drtscha. 
101)  Taxus  baccata.  L.  Maxim.  Amur  n.  53. 
Nur  an  einer  Stelle  oberhalb  der  Garin-Mündung  beim 
Churi-bira  gesehen  und  den  2.  August  mit  reifen  Früchten 
gesammelt.  Wächst  hier  als  Strauch  an  der  mit  Nadelholz 
bedeckten  Thal  wand,  und  war  ziemlich  häufig.  Früchte  roth, 
selten  anzutreffen. 
IT  O T S3  3. 
12.  Développements  analytiques  pour  servir 
À compléter  la  théorie  des  maxima  et  mi- 
nima DES  FONCTIONS  À PLUSIEURS  VARIABLES 
indépendantes;  par  V.  BOUN1AKO WSKY. 
(Extrait  du  Mémoire.)  (Lu  le  13  février  1857.) 
Depuis  Lagrange  qui,  le  premier,  a posé  les  vrais  prin- 
cipes de  la  théorie  des  maxima  et  minima  des  fonctions  à plu- 
sieurs variables  indépendantes,  celte  doctrine  a présenté  un 
cas,  non  résolu,  du  moins  d’une  manière  bien  explicite.  C’est, 
comme  on  le  sait,  celui  où  toutes  les  dérivées  partielles  de  la 
fonction  donnée,  à commencer  par  celles  du  second  ordre  et 
jusqu’à  un  ordre  impair  quelconque,  inclusivement,  se  rédui- 
sent à zéro  pour  les  valeurs  des  variables  qui  annulent  iden- 
tiquement la  première  différentielle  de  la  fonction.  Lagrange, 
dans  sa  Théorie  des  fonctions  analytiques*),  en  parlant  d’un  cas 
très  particulier  de  celui  que  nous  mentionnons,  s’exprime  de 
la  manière  suivante- 
«Nous  avons  donné  ci -dessus ,un  moyen  simple  pour  trou- 
ver les  conditions  qui  rendent  une  quantité  de  la  forme  Ap2 
-+-Bpq-+-  etc.  toujours  positive  ou  négative;  on  pourrait,  de 
la  même  manière,  chercher  celles  qui  rendraient  toujours  po- 
sitives ou  négatives  des  quantités  de  la  forme  Ap 4 -+-  Bpdq  -+- 
elc.;  mais  l’application  de  la  méthode  générale  à ce  cas  serait 
sujette  à des  difficultés  de  calcul  qui  pourraient  la  rendre  im- 
praticable; et  c’est  là  un  problème  d’algèbre  dont  il  serait  à 
désirer  qu’on  pût  avoir  une  solution  complète." 
Le  problème  dont  parle  Lagrange  dans  ce  passage  a été 
résolu  dans  une  Note  que  j’ai  présenté  à l’Académie  en  1829, 
mais  seulement  pour  le  cas  de  deux  variables  indépendantes. 
Elle  est  imprimée  dans  les  Mémoires  de  l' Académie  Impériale 
des  Sciences  de  St.-Pétersbourg,  VI  Série,  T I,  1831,  page  463, 
sous  le  titre:  Sur  les  maxima  et  les  minima  des  fonctions  à deux 
variables.  Dans  le  Mémoire  que  je  présente  aujourd’hui  je  ré- 
sous le  problème  en  question  dans  toute  sa  généralité;  ce 
n’est  pas  seulement  sur  un  polynôme  du  quatrième  degré  que 
j’opère,  mais  je  considère  un  polynôme  d'un  degré  pair  quel- 
conque, contenant  un  nombre  arbitraire  de  variables  indépen- 
dantes. Ainsi,  l’analyse  que  j’expose,  servira  à compléter  la 
théorie  des  maxima  et  des  minima  en  donnant,  d’une  manière 
explicite,  les  caractères  généraux  qui  fixent  l’existence  de  ces 
sortes  de  valeurs. 
Je  commence  d’abord  par  établir,  d’une  manière  complète, 
les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  l’existence  des 
maxima  et  minima  d’une  fonction  à deux  variables  indépen- 
dantes. Ce  problème  résolu,  je  fais  voir  que  la  question  géné- 
rale, c’est-à-dire  celle  des  maxima  et  minima  d’une  fonction 
d’un  nombre  quelconque  de  variables  se  ramène  au  premier 
cas,  et,  sauf  la  prolixité  des  calculs,  ne  présente  aucune  diffi- 
culté sous  le  rapport  théorique. 
Ce  10  février,  1857. 
AITMOITGB  BIBLIOGRAPHIQUE. 
Mélanges  biologiques  tirés  du  Bulletin  physico-mathématique 
de  l’Académie  Impériale  des  sciences  de  St.-Pétersbourg. 
Tome  IL  Sème  livraison  (avec  une  planche,  p.  407  — 512. 
Contenu  -.  pag. 
Ruprecht.  Die  ersten  botanischen  Nachrichten  über  das  Amur- 
land. Erste  Abtheilung:  Beobachtungen  von  C.  Maximo- 
wicz.  (Mit  einer  lithographirten  Tafel.) 407 
Wenzel  Grube«.  Die  Bursae  mucosae  praepatellares 443 
— Geschichtliche  Berichtigung  über  das  Caput  auriculare  mus- 
culi  styloglossi  des  Menschen 469 
Ruprecht.  Die  ersten  botanischen  Nachrichten  über  das  Amur 
land.  Erste  Abtheilung  : Beobachtungen  von  C.  Maximo- 
wicz  (Nachtrag) 472 
E.  Regel.  Vegetations- Skizzen  des  Amurlandes,  gesammelt  von 
dem  Reisenden  des  Kaiserlichen  Botanischen  Gartens  zu 
St.  Petersburg,  Herrn  Maximowicz  ; nebst  Bemerkungen 
über  die  von  demselben  eingesendeten  Bäume  und  Sträucher.  475 
uuer  uie  von  ucinseineu  eiugesei 
Prix:  50  Cop.  arg.  — 16  Ngr. 
*)  Première  édition,  page'  196. 
Émis  le  5 avril  1857. 
