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Bulletin  pliysico  - mathématique 
/J 
Von  zwei  Punkten  M und  A0  ziehe  man  nach  den  sämmt- 
lichen  Ecken  des  »-Ecks  AXA2A3 . ...  An  die  Strahlen  MAX, 
MA2,  MAv  ....  MAU  und  A0AX,  A0A2,  AQAZ,  ....  A0An , 
verbinde  M mit  M0  durch  die  Gerade  MA0  und  bezeichne  die 
Punkte,  in  welchen  die  beliebige  Gerade  B0Bn  durch  die 
Strahlen  MA0,  MAX , M42, ....  MAn  geschnitten  wird,  resp. 
durch  B0,  Bx.  B2,....  Bn-,  dann  ergiebt  sich,  wenn  wir 
B0Bl=a0,  BlB2  = a1,  B2B3  = a2, Bn_lBn  = an_  x 
setzen  und  » in  » -+- 1 übergehen  lassen,  nach  Formel  (1); 
B0BX  X B0Bn  B0BX  X B0BZ  B0B2  X B0B3 
A-iXfi« 
oder,  wenn  wir  einen  bekannten  geometrischen  Satz  be- 
nutzen , 
MB  4 B,, 
MB0B1 X MB0Bn 
MBXB2  mb2b3 
MBqBx  X MB0B2  ~+~  MBQB2  X MB0B3 
MBn_xBn 
' MB0Bll_iXMDOBn 
Bekanntlich  ist  aber 
MBrBs  : MArAs  = MBr  X MBS  ■.  MAr  X MAS, 
MB0Br  : MA0Ar  = MB0  X MBr  ■.  MA0  X JL4r, 
MB0BS  : MA0AS  = MB0  X MBS  ■.  MA0  X MAS  ■ 
folglich  gewinnen  wir  durch  Verbindung  dieser  Proportionen 
MB,.BS  MArAs  MB  XMBS 
MB0BrXMB0Bs  : MA0Ar  X MA0AS  ~ MB2  X MBr X MBS 
oder 
MArXMAs 
MA02XMArXMAs 
MBrBs  MArAs  MA02 
MB0Br  X MB0Bs  MA0Ar  X MA0As  ' MB02  ’ 
Wenden  wir  diesen  Satz  auf  jedes  Glied  der  Gleichung 
unter  (2)  an,  so  ergiebt  sich  die  Gleichung 
MAxAn  MA02  _ MAXA2  it/^l02 
MA0AlXMA0An  ' MB02  ~~  MA0AX  X MA0A2  X MB02 
, «Ms  x MA02  _ x W 
MA0A2 X MA0A3  MB0z  MA0An_t  X MA0An  MB0Z 
oder 
MAxAn 
(3) 
I MAnA  I X MAnA., 
MAXA2  ma2a3 
MAqAx  X MAqA2  MAqA2X  MAqA3 
MAn \An 
MA0An_x  X MA0An  ' 
Dieser  an  und  für  sich  bemerkenswerthe  Satz  lässt  sich  auf 
folgendem  Wege  noch  einfacher  beweisen: 
Man  betrachte  M als  Anfang  und  MA0  als  Abscissenaxe  ei- 
nes rechtwinkligen  Coordinatensystemes,  bezeichne  die  Or- 
dinaten  der  Ecken  At , Az,  A3,  . . . . An  unseres  »-Eckes  resp. 
durch  yl,  y2,  y3  . . . .yfl  und  deren  Abscissen  durch  xx,  x2, 
x3, xH,  so  wie  MA0  durch  z;  dann  ergiebt  sich 
*1  _x_n=  /^l  _ M + (XJ  _ ^i\  H /*»- 1 *»\ 
y\  Vn  Wi  \V2  y 3)  \!/„_  i yj’ 
oder 
2 (x\Vn  Vlxri) | {xiV7.  Vtx 2)  j — 2/2*3! 
MA 0 2/1  v MA0.yn  MA0.yx  -J  2/2  ^0*2/3 
2 2 2 2 2 2 
! 1 5 (*«  — 1 ?/?t  2/» — 1 xn) } 
2 X 2 
oder 
MAtAn  MAxAz  MA2A3 
MA0AX  X MA0An  MA0AX  X MA0A2  MA0A2XMA0A3 
XAn'—iAn 
MA0An — 1 X MA0An  ’ 
übereinstimmend  mit  (3). 
Setzen  wir  in  dieser  Relation  » = 3 , so  ergiebt  sich 
MAXAX  MA3A2  _ 
X iV.40it3  X MJo^2  "+"  j>IJ042  X A2^o^3  ’ 
oder 
(4)  MA^xMAqA^MA^xMA^z-a-MA^xMAqA^, 
d.  h.  Construirt  man  über  den  Seilen  und  Diagonalen  eines  Vier- 
eckes Dreiecke , die  eine  gemeinschaftliche  Spitze  haben , so 
ist  das  Product  der  Dreiecke  über  den  Diagonalen  der 
Summe  der  Producte  der  Dreiecke  über  je  zwei  Gegensei- 
ten gleich. 
Einen  anderen  Polygonalsatz  erhalten  wir  auf  folgendem 
Wege:  Durch  Anwendung  des  Lehrsatzes  unter  (4)  ergeben 
sich  nämlich  folgende  Gleichungen: 
MA0A2  X MAXA3  — MA0At  X MA2A3  -t-  MA0A3  X MAXA2 , 
MA0A3  X MA2Ai  = MA0A2  X MA3A^-\-  MA0A^  X MA2A3, 
MA0Ai  x MA3A5  = MA0A3  x AIA^A5  -+-  MA0AS  x MA3At, 
u.  s.  w. 
MAq  An  — j X AIAfl  — 2 An  ==  MA0  An  — 2 X MAn  — t An 
— i—  ÜL4g^l/t  X MAn 2 An j , 
die  sich  auch  folgendermaassen  schreiben  lassen  : 
MA0At  X MA0A2  MA0A2  X MA0A3 MA0A22XMAxA3 
MAxA2  MA2A3  MAxA2XMA2A3  ’ 
MAqA2  X MAqA3  MA0A3  X MAq A^ MAqA 32  X M A2AX 
MA2A3  1 MA3Ai  MA2A3XMA3Ai  ’ 
_ MA0A3XMAqA4  MAqA^ x MAqAs MAqA42XMA3As 
MA^AS  ATA^A^X  MA4A5 
u.  s.  w. 
/ j\ra  MApAn—  2 X AIA0An_  t , |ir  MApAn _ ( X MAQAn 
MAn  _ 2An  _ 1 MAn  _ xAn 
_ / t]n  MAAnSXMA^An 
MAH_2An_  1 X AIAn_iAn 
