de  l'Académie  de  Saint  - Pétersbourg. 
Aus  der  Addition  dieser  Gleichungen  entspringt  endlich  der 
Lehrsatz 
l MApA^X  MApAn-JlApAf  X MA0A2  MAqA22  X MAyA3 
, MAn_iAn,  MAQAlXMAyA2  MAtA2XMA2Aa 
^ MAqA32  X MA2Ai . j MAqA,^2  X MAn_2An 
MA2A3XMA3A4  1 MAn_2An_l  X MA^xA,’ 
Wollen  wir  den  Beweis  dieses  Satzes  unabhängig  vom 
Theoreme  unter  (4)  geben,  so  kann  diess  folgendermaassen 
geschehen  : 
Zunächst  überzeugen  wir  uns  leicht  von  der  Richtigkeit 
der  Gleichungen 
<5)j 
Î/IÎ/2 
ViV-i 
X/22(^i2/3  — Î/I^a) 
*i*/2  — ytx  2 x2n3  — y2x3 
Mi 
*2*/ 3 — 2/2*3 
(-1)" 
= (-!)" 
2/82/4  _ 
*32/4  — 2/3*4 
Vn—2  Vn—l 
(*lî/2  — 2/1*2)  (*22/3  — 2/2*3) 
2/ 3 2 (*22/4  — 2/2*4) 
(*22/3  — 2/2*3)  (*32/4  — 2/3*4) 
(-  1)" 
Vn-lVn 
*ra— 2?/»— 1 2//J— 2*«— 1 *»— l2/n  2/«— 1*/4 
2/»-l2  (*»-22/n~2/„-22/„) ; 
! — 2/«_2*h_i)  (*«— i2/h  - 2/„_l*„) 
und  erhalten  durch  Addition  derselben  nach  gehörigem  Auf- 
heben 
(-1)" 
2/«-i2/» 
2/12/2 2/22  (*12/3—2/1*3) 
*«-i2/«  - 2/„-i*»  *i2/2  — S/i*2  (*i2/2  — 2/1*2)  (*22/3  — 2/2*3) 
2/3 2 (*22/4-  2/2*4)  _ 
(*22/3  —2/2*3)  (*32/4-2/3*4 
2/„_i2(*„_22/„  - yn-2xn) 
(-  1)" 
( *// — 2?//i — 1 V n — 2*« — 1 ) (*«— 12/«  !/«—!*«) 
oder 
2 " 2 
*■)"! 
y(««- 1 Vn-Vn- 1®«) 
^ 2/2 
2 
2 * 2 ^i^2 
(-f2)2*  I (^lî/3 î/l^3)  (^f-3)2*  Y («2Î/4  — 3/2*4) 
2 (*lS/2  — 2/l*2) • 2 (*22/3  !/2*3)  |(æ2J/3  2/2*3)  - ^(*32/4 — 2/3*4) 
(— g"1)  * Y (Bn-zVn  — y«-2®„) 
(—!)"■ 
5 <*«-2  2/„-i  — 2/«-2*«-l)  - 5 (*«— 1 2//1  — 2/„_i*„) 
Hieraus  folgt  endlich  unter  Bezugnahme  auf  das,  was  un- 
mittelbar nach  dem  Satze  unter  (3)  gesagt  worden  ist, 
/ j in  | X JtfAgAy2  X 3/4, h -4 2 itfjàg^2  X 1 .4 3 
X Y M-4^2  X it/,l2yla 
^ AlA()An__  1 2 X 
[) 
«V-l4. 
MA0A32XMA2At 
AlA2A3XAlA3Ai  - ' MA^A^XMA^A,, 
eine  Gleichung,  welche  mit  der  unter  (5)  übereinslimmt. 
Setzt  man  hierin  n=  3,  so  erhält  man  wiederum  das 
Theorem  unter  (4). 
Um  einen  dritten  merkwürdigen  Satz  von  den  Vielecken  zu 
erhalten,  gehen  wir  von  folgenden  aus  dem  Lehrsätze  unter 
(4)  sich  leicht  ergebenden  Relationen  aus: 
MA0A2  x MAlAn^=MAiA2  X MA0An -+-  MA0Ay  X MA2Atl , 
MAtA3  X MA2An  = MA2A3  x MAiAn  -+-  MAX  A%  X MA3An, 
MAzAi  x MA3An  = MA3Ai  x MAzAn  -t-  MA2A3  xMaJI, 
MAn  _ 4 An  _ 2 X MAn  _ 3A„  = MAn  _ 3 A„_  2 X _ 4A„ 
-t-  MAn  _ 4A„  _ 3 X MAn  _ 2A„ , 
MAn  _ 3 X JL4„  _ 2A„  = MAn  _ 2A„  _ i x MAn  _ 3An 
H-  MAn  _ 3 An  _ 2 X MAn  _ j A„ , 
die  sich  durch  einfachen  Calcul  auf  folgende  Form  bringen 
lassen  ; 
MAyAn 
MA()Art 
MA2An 
MAlAn 
MA3An 
MAzAn 
MAtA2 
MAqA2  — jVJ.IqY  x ma2au 
MAyAn 
AIA2A3 
MAxA3  — MAyAzX  AIA3An' 
ma2a„ 
. MAjA,, 
m2At  — ma2a3  xii4V 
mj3^„ 
u.  s.  w. 
M-An — MAn — 3 An — 2 
MA„ 
MAn 
An — 2 AIAn 
2 — 1 
X^„- 
-2^y? 
MAn—2An 
MAn_3An  MAn_3An — ! - A/J„_ 3 ^„-2  X XAn_l A„  ' 
— 2^n 
(6) 
Hieraus  erhalten  wir  endlich  durch  successive  Substitution: 
MAyAn MAyA2 
JUAoArt  JHAqA2  — AIA^Ay  X AIA2A3 
MAyA3  — MÄ[a2X  MA9Ai 
MA2Aa  — 
&An — 4-4„ — 3 X MAn — zAr} — 1 
MAn  — 3A„ — 1 MAn  — 3 A„ — aX/WAi — l-^n 
MAn^An 
