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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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<“»  S-2- 
ßn  ßl  - alßi 
aißi-*~aißi  — aia3ßi 
«2/S3-+-«3^2  — 
*n — 2“nrn-l 
*71 — ltJn~’-“ntJn  — 1 
sowie,  wenn  v,  =■ 
■jr  » — {—  i)n  1 f gesetzt  wird , 
r 2 Pn 
“1^2  — alßl  "+■  aia3ßl2 
G*>ß*  Üq/3o  "+" 
Ä/i  — 1/^72  anßn — i 
Für  =a2  = a3  = = an  = 1 gehen  die  Formeln  (18)  und  (19)  endlich  in  die  folgenden  über: 
11  11 
(20) 
und 
(21) 
ßl  /*2 
ßn  ßl  “ ßl2 
ß2-f-ßi  - /V 
ß3"*_ß2  — 
l)n-l  1 
ßl-t-ßl" 
ß2  — ßl  ' 
ß2‘ 
2.  Elegante  Ableitung  der  Formeln  fur  den 
sphärischen  Excess:  von  Dr.  OSCAR  WER- 
NER. (Lu  le  16  janvier  1857.) 
Die  Seiten  eines  ebenen  Dreieckes  seien  p,  q,  r und  die  die- 
sen Seiten  gegenüberstehenden  Winkel  P,  Q , R,  die  180° 
nicht  übersteigenden  Seiten  eines  sphärischen  Dreieckes  da- 
gegen a,  b,  c und  deren  Gegenwinkel  A , B,  C.  Diese  beiden 
Dreiecke  mögen  in  einem  solchen  Zusammenhänge  zu  einan- 
der stehen,  dass 
p = cos±a.  cosifc,  <7  = sin  | a . sin  | i und  r = cos|c. 
Unter  diesen  Umständen  ist 
r2  =pz  -i -q2  — 2 pq  . cos  R , 
oder  cosic2  = cos|a2  cos§i2  -i-sinia2  . sinii2 
— 2cos|a  . cos  I b . sin  a a . sin  Ai  . co  sR, 
folglich,  wenn  wir  die  goniometrischen  Formeln 
, 1—  cos®  , „ 1-4-cosa: 
sm|a:2  = ^ , cosia:2  = — ^ — 
und  sin#  = 2sin|a: . cos^x 
benutzen, 
i(l -f-cosc)=i(ln-cosa)  (l-+-cosi)^4-A(i — cosa) (1—  cosi) 
— A sin  a sin  b cos  R -, 
oder 
ßn-ßn—l 
2 -+-  2cosc  = 1 -+-  cosa  -+-  co sb  -4-  cosa  cosô  -4-1  — cosa 
— cosi  -4-  cosa  .cosi  — 2sina  sini  co  sR; 
d.  i.  cosc  = cosa  . cosi  — sinasini  co  sR. 
Nach  einer  bekannten  Grundformel  der  sphärischen  Trigo- 
nometrie ist  aber 
cosc  = cosa  . cosi  -t-  sinasini  cosC, 
folglich  cos  R = — cos  C ; d.  i.  jR  = 180  — C. 
Ferner  ist  nach  Principien  der  ebenen  Trigonometrie 
R = 
lang  i(P-Q)=p—J  cot 
cos  i (a-t-b)  - 
2 « = 1,  lansk c 
cos|  (o  — b) 
und  nach  einer  der  Neper’schen  Analogieen 
cosi(a-t-i)  r 
■ ?7 — t,  • tang  \ C; 
cosi  (a—  b)  02 
cot  ^(Ä  + fi) 
daher  erhalten  wir  durch  Vergleichung 
tang  \ [P — Q) = cot  A (A  -i-  2?)  ; d.  i.  i{P-Q)=W°- £ (A+B). 
Nehmen  wir  hierzu  noch  P -t-  Ç = 180 — R = C oder 
\ (P  -4-  Q)  = 1 C,  so  folgt 
— 90° 
71  AA  A-t-  B — C , A A-h 
P = 90 und  Q = — 
2 z 
oder,  wenn  wir  den  sphärischen  Excess,  d.  i.  den  Ueberschuss 
der  Summe  der  drei  Winkel  des  sphärischen  Dreieckes  über 
180°  durch  E bezeichnen, 
